Bentuk Umum Persamaan logaritma, Sifat, Soal dan Langkah Penyelesaian
Hai Sobat, saat terjadi gempa, biasanya BMKG akan memberikan informasi kekuatan gempanya ya? Misalnya 4,8 SR, 5,2 SR, dan seterusnya. Nilai kekuatan gempa diukur pada alat yang disebut seismograf. Tahukah kamu bahwa pembacaan nilai pada seismograf menggunakan persamaan logaritma lho. Lalu, apa yang dimaksud dengan persamaan logaritma? Bagaimana bentuk persamaannya? Daripada penasaran, yuk simak artikel lengkapnya!
Memahami Persamaan Logaritma
Persamaan logaritmik adalah persamaan matematika yang berisi variabel x dalam fungsi logaritmik (numerik).. Apakah variabel terletak hanya di bagian numerus? Tentu saja tidak. Bilangan pokok atau basisnya juga dapat berisi variabel. Lalu, bagaimana jika basis juga berisi variabel? Anda tidak perlu khawatir karena pada ulasan di bawah ini disajikan sifat-sifat persamaan logaritma secara lengkap.
Ingat, dalam sistem persamaan pasti akan ada tanda hubung “=” antara fungsi sisi kiri dan fungsi sisi kanan. Biasanya hanya ada satu solusi untuk persamaan logaritmik. Hal ini tentu saja berbeda dengan pertidaksamaan logaritmik yang memiliki lebih dari satu penyelesaian pertidaksamaan. Sebelum masuk ke bentuk persamaan logaritma, mari kita kilas balik dulu ke bentuk umum logaritma.
A logb = n
Baca Juga:
Dengan :
a = bilangan pokok atau basis;
b = angka; Dan
n = nilai logaritmik.
Baca Juga:
Sekarang, dalam persamaan logaritmik, numerus berisi variabel, misalnya x atau y.
Bentuk Umum Persamaan Logaritmik
Secara umum, bentuk umum persamaan logaritma dibagi menjadi lima. Perbedaan antara ketiga persamaan tersebut terletak pada bentuk alas dan bilangannya. Bentuk umum dari persamaan logaritmik adalah sebagai berikut.
Formulir Umum Alogf(x) = Alogg(x)
Bentuk umum pertama berlaku untuk dua persamaan yang memiliki basis yang sama tetapi fungsi numeriknya berbeda. Bentuk umum yang dimaksud adalah sebagai berikut.
Dengan :
Baca Juga:
a = basis (pokok); Dan
f(x) dan g(x) = numerus dalam bentuk fungsi.
Adapun contoh bentuk umum Alogf(x) = Alog g(x) adalah 2log(2x + 1) = 2log(x2 – 1).
Untuk persamaan logaritmik yang akan didefinisikan, angkanya harus lebih besar dari nol. Artinya, penyelesaian persamaan harus mengacu pada kondisi tersebut.
Baca Juga:
Formulir Umum Alogf(x) = Alogk
Bentuk umum kedua berlaku untuk dua logaritma dengan basis yang sama, di mana satu angka adalah fungsi dan yang lainnya adalah konstanta. Bentuk umum yang dimaksud adalah sebagai berikut.
Dengan :
a = basis (pokok);
f(x)= numerus dalam bentuk fungsi; Dan
Baca Juga:
k = angka dalam bentuk konstanta.
Contoh penerapan bentuk umum Alogf(x) = Alogk adalah 3log(2x + 1) = 2log4.
Dari persamaan tersebut, bilangan di sebelah kiri adalah fungsi (2x + 1), sedangkan bilangan di sebelah kanan adalah konstanta, yaitu 4.
Formulir Umum Alogf(x) = Blog f(x)
Bentuk umum ketiga berlaku untuk persamaan yang basisnya berbeda tetapi bilangannya sama. Bentuk umum yang dimaksud adalah sebagai berikut.
Baca Juga:
Bentuk ini terpenuhi jika a ≠ b. Contoh bentuk Alogf(x) = Blogf(x) adalah sebagai berikut.
4log(2x + 1) = 5log(2x + 1)
Jika kamu menemukan persamaan seperti di atas, bagaimana cara menentukan nilai x? Untuk mengetahuinya, simak sifat-sifat logaritma pada sesi berikut ini.
Formulir Umum f(x)logg(x) = f(x)log h(x)
Bentuk umum keempat ini berlaku untuk persamaan logaritmik dengan basis dan bilangan sebagai fungsi, di mana fungsi basisnya sama. Bentuk yang dimaksud adalah sebagai berikut.
Baca Juga:
f(x)logg(x) = f(x)log h(x)
Dengan :
f(x)= basis dalam bentuk fungsi; Dan
g(x) dan h(x) = numerus dalam bentuk fungsi.
Baca Juga:
Ayo, perhatikan contoh bentuk umum f(x)logg(x) = f(x)log h(x) berikut ini.
x+1log(3x – 4) = x+1log(5x)
Jika Anda menemukan persamaan seperti di atas, lihat kembali sifat-sifat log dan kondisinya, oke?
Formulir Umum f(x)log h(x) = g(x)log h(x)
Bentuk umum kelima ini berlaku untuk persamaan di mana dua basis adalah fungsi yang berbeda, tetapi pembilangnya sama. Bentuk yang dimaksud adalah sebagai berikut.
Baca Juga:
f(x)log h(x) = g(x)log h(x)
Contoh persamaan yang termasuk dalam bentuk umum kelima ini adalah sebagai berikut.
x+1log(3x – 4) = x+2log(3x – 4)
Bentuk Umum Persamaan Logaritmik Kuadrat
Bentuk umum keenam ini berlaku untuk persamaan kuadrat dengan variabel dalam bentuk fungsi logaritmik. Bentuk yang dimaksud adalah sebagai berikut.
Baca Juga:
Jika Anda menemukan soal dengan bentuk umum seperti di atas, ubahlah soalnya
dalam bentuk persamaan kuadrat dengan mengasumsikan fungsi logaritmiknya
sebagai variabel, misalkan x, y, atau z.
Properti Persamaan Logaritmik
Sifat logaritma adalah sifat yang mengacu pada bentuk umum persamaan logaritma. Itu sebabnya, setiap bentuk umum dari persamaan log memiliki sifat yang berbeda-beda. Properti ini akan berlaku jika persamaan log memenuhi kondisi tertentu. Sifat persamaan log adalah sebagai berikut.
Baca Juga:
-
- Alogf(x) = analog g(x) ⇔ f(x)=g(x)
Sifat ini terpenuhi jika a > 0, a ≠ 1, dan angka harus lebih besar dari 0.
-
- Alogf(x) = Alog k ⇔ f(x) = k, di mana k = konstanta
Sifat kedua ini terpenuhi jika a > 0, a ≠ 1, dan angka harus lebih besar dari 0.
-
- Alogf(x) = Blog f(x) ⇔ f(x) = 1
Properti ketiga ini dipenuhi dengan kondisi a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1 dan angkanya harus lebih besar dari 0.
-
- f(x) logg(x) = f(x) log h(x) ⇔ g(x) = h(x)
Sifat keempat ini terpenuhi jika f(x) > 0, f(x) ≠ 1, dan angkanya harus lebih besar dari 0.
Baca Juga:
-
- f(x)log h(x) = g(x) log h(x) ⇔ f(x) = g(x) atau h(x)=1
Sifat kelima ini terpenuhi jika f(x) > 0, f(x) ≠ 1, g(x) > 0, g(x) ≠ 1, dan bilangan lebih besar dari 0.
- Sifat kelima ini berlaku untuk sistem persamaan logaritma kuadrat, yaitu sebagai berikut. A (Alog f(x))2 + B(Alog f(x)) + C = 0 Properti keenam ini dapat diselesaikan dengan mengasumsikan logaritmanya sebagai variabel tertentu. Kemudian, tentukan akar persamaan kuadrat saat Anda menyelesaikan soal persamaan kuadrat.
Langkah-langkah Menyelesaikan Persamaan Logaritmik
Setiap persamaan harus mengandung solusi solusi. Begitu juga dengan persamaan logaritmik. Solusi untuk persamaan ini adalah nilai variabel dari fungsi logaritmik. Untuk memudahkan Anda menentukan nilai variabel yang memenuhi, ikuti langkah-langkah berikut ini.
Identifikasi Bentuk Logaritmik
Langkah pertama, Anda harus mengidentifikasi bentuk persamaan logaritma. Mengapa demikian? Karena setiap bentuk logaritma memiliki sifat tertentu yang mempengaruhi proses penyelesaian.
Selesaikan Persamaan Logaritmik
Langkah kedua, selesaikan persamaan logaritma yang mengacu pada sifat-sifat yang telah dituliskan sebelumnya untuk mendapatkan nilai variabel yang dicari.
Baca Juga:
Mengganti Nilai Variabel dalam Fungsi Numerus
Anda harus ingat bahwa persyaratan numerus harus berupa angka positif. Oleh karena itu, setelah mendapatkan nilai dari variabel yang dimaksud, Anda harus mensubstitusikan nilai tersebut ke dalam fungsi numerus. Jika angka yang dihasilkan positif, maka nilainya adalah solusinya. Namun, jika menghasilkan angka negatif, maka nilai tersebut tidak termasuk solusi.
Untuk lebih jelasnya, lihat contoh berikut.
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut.
Diskusi :
Baca Juga:
Karena basisnya sama dan kedua numerusnya adalah fungsi, contoh di atas memiliki bentuk umum pertama. Untuk mengatasinya, gunakan properti pertama dari persamaan log, ya.
Selanjutnya, tentukan nilai x yang memenuhi persamaan.
Kemudian, gantikan x = -4 dan x = 2 ke dalam angka.
Ambil x = -4 ↔ 3x = 3(-4) = -12 (hasilkan angka negatif) → tidak memenuhi
Baca Juga:
Ambil x = 2 ↔ 3x = 3(2) = 12 (menghasilkan angka positif) → memuaskan
Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan tersebut adalah 2
Sampai disini Sobat sudah paham kan? Langsung saja kita ke contoh.
Contoh Soal Persamaan Logaritmik
Untuk mengasah kemampuan Anda, mari kita lihat contoh soal berikut.
Baca Juga:
Contoh Soal 1
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut.
Diskusi :
Karena basisnya adalah fungsi yang sama di mana kedua numerus juga merupakan fungsi, gunakan properti keempat.
f(x)logg(x) = f(x)log h(x) ⇔ g(x) = h(x)
Baca Juga:
Kondisi: f(x) > 0, f(x) ≠ 1, g(x) > 0, dan h(x) > 0
Gantikan nilai x = 7 dan x = -3 dalam angka dan basis.
| 4x (numerik) | X2 – 1 (dasar) | Informasi | |
|---|---|---|---|
| x = 7 | 28 (positif) | 48 (positif) | Memenuhi |
| x = -3 | -12 (negatif) | 8 (positif) | Tidak memenuhi |
Jadi, nilai x yang memuaskan adalah 7.
Contoh Soal 2
Sebuah wilayah di pesisir pantai dilanda gempa berkekuatan 5 skala Richter. Persamaan kekuatan gempa dinyatakan sebagai berikut.
Baca Juga:
K = 2log(148 – x ) SR
Jika x adalah jarak antara suatu daerah dengan pusat gempa (dalam mil), berapakah jarak antara tempat tersebut dengan pusat gempa?
Diskusi :
Karena K adalah konstanta yang nilainya 5, Anda harus mengubah konstanta ini menjadi bentuk logaritmik yang basisnya sama dengan basis fungsi logaritmik di ruas kanan.
Baca Juga:
K = 2log(148 – x )
5 = 2log(148 – x )
2log 25 = 2log(148 – x )
Karena basisnya sama dengan salah satu angka dalam bentuk konstanta, Anda dapat menggunakan properti second.
Baca Juga:
Alogf(x) = Alog k ⇔ f(x) = k
2log(148 – x) – 2 log25
⇔ 148 – x = 25
⇔ 148 – x = 32
Baca Juga:
⇔ x = 116 mil
Jadi, jarak antara tempat itu dan pusat gempa adalah 116 mil.
Contoh Soal 3
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut.
Diskusi :
Baca Juga:
Karena basisnya tidak sama dengan fungsi pada dua bilangan yang sama, maka persamaan di atas mempunyai bentuk umum ketiga. Untuk menyelesaikannya, gunakan sifat persamaan ketiga, ya.
Alogf(x) = Blog f(x) ⇔ f(x) = 1
Selanjutnya, tentukan nilai x yang memenuhi persamaan.
4log(2x – 5) = 3log(2x – 5)
Baca Juga:
⇔ 2x – 5 = 1
⇔ 2x = 6
⇔x = 3
Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan tersebut adalah 3.
Baca Juga:
Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bisa bermanfaat, ya. Untuk mendapatkan materi lengkapnya, buruan gabung dengan Quipper Video. Salam Quippers!
www.quipper.com
Artikel Terkait
