Hai Sobat, apa kabar? Semoga sehat selalu, ya.
Apakah Anda pernah menggunakan alat zoom/pembesaran saat memotret suatu objek? Jika Anda memperbesar suatu objek melalui kamera, pasti akan muncul keterangan 1,5x; 2x; 3,5x; 3,9x; dan seterusnya kan? Dalam Matematika, deskripsi 2x atau 4x adalah faktor pengali sedangkan proses pembesaran yang Anda lakukan disebut dilatasi. Lalu, apa yang dimaksud dengan dilatasi? Daripada penasaran, yuk simak selengkapnya!
Definisi Dilatasi
Dilatasi adalah perubahan titik suatu benda pada bidang geometri berdasarkan nilai faktor pengalinya. Pada jenis transformasi ini, ukuran bayangan bisa berbeda dengan ukuran objek. Namun, bisa juga ukuran bayangannya tetap. Namun, bentuknya tetap sama, ya. Mengapa demikian? Ini karena faktor pengali. Misalnya, jika suatu benda diperbesar dengan faktor pengali = 2, maka bayangan benda tersebut dua kali lipat dari benda aslinya dan jarak bayangan dari pusat juga dua kali jarak antara benda dan pusat aslinya.
Baca Juga:
Faktor Pengali Dalam Dilatasi
Faktor pengali adalah faktor penentu letak dan ukuran suatu benda hasil dilatasi. Lalu, apa hubungan antara dilatasi dan pengganda?
- Faktor pengali yang lebih besar dari satu (k > 1) akan menghasilkan pembesaran ukuran benda dan searah dengan sudut dilatasi benda semula.
- Faktor pengali sama dengan satu (k = 1) tidak mengakibatkan perubahan ukuran atau posisi benda.
- Faktor pengali antara 0 dan 1 (0 < k < 1) menghasilkan pengurangan ukuran benda dan searah dengan sudut dilatasi awal.
- Pengali antara -1 dan 0 (-1 < k < 0) menghasilkan ukuran benda yang mengecil dan memiliki arah yang berlawanan dengan sudut dilatasi awalnya.
- Faktor pengali sebesar -1 (k = -1) tidak mengakibatkan perubahan besar benda, melainkan berlawanan arah dengan sudut dilatasi awal.
- Faktor pengali yang lebih kecil dari -1 (k < – 1) menghasilkan pembesaran ukuran benda dan arahnya berlawanan dengan sudut dilatasi awal.
Jenis Dilatasi
Berdasarkan titik pusatnya, dilatasi dibagi menjadi dua yaitu dilatasi ke titik pusat (0, 0) dan dilatasi ke titik pusat (a,b). Apa perbedaan antara keduanya?
Dilatasi Terhadap Titik Tengah (0, 0)
Bentuk umum dilatasi titik A terhadap titik pusat (0, 0) dapat dinyatakan sebagai berikut.
Baca Juga:
Bentuk penulisan di atas menunjukkan bahwa titik A yang berkoordinat (x,y) didilatasi terhadap titik pusat (0,0) dengan faktor pengali k, sehingga menghasilkan titik A’ yang berkoordinat (x’,y’).
Sekarang, koordinat (x’, y’), dapat ditentukan menggunakan persamaan matriks seperti di bawah ini.
Agar lebih paham, lihat contoh soal.
Baca Juga:
Sebuah benda berbentuk persegi panjang PQRS berada pada bidang koordinat kartesius sebagai berikut.
Jika benda dilebarkan ke titik pusat dengan k = 2, tentukan bayangan yang terjadi!
Diskusi:
Baca Juga:
Tentukan terlebih dahulu koordinat titik P, titik Q, titik R, dan titik S seperti pada tabel.
| Titik | Koordinat |
|---|---|
| P | (1, 3) |
| Q | (4, 3) |
| R | (1, 2) |
| S | (4, 2) |
Selanjutnya, tentukan koordinat titik P’, titik Q’, titik R’, dan titik S’ dengan persamaan dilatasi terhadap titik pusat.
Titik P’
Baca Juga:
Jadi P’ = (2, 6)
titik Q’
Jadi Q’ = (8, 6)
Baca Juga:
titik R’
Jadi R’ = (2, 4)
S’point
Baca Juga:
Jadi S’ = (8, 4)
Diperoleh:
| titik pangkal | Koordinat | Titik akhir | Koordinat |
|---|---|---|---|
| P | (1, 3) | P’ | (2, 6) |
| Q | (4, 3) | Q’ | (8, 6) |
| R | (1, 2) | R’ | (2, 4) |
| S | (4, 2) | S’ | (8, 4) |
Jika dideskripsikan dalam koordinat Cartesian menjadi:
Baca Juga:
Dapatkah Anda melihat apakah bayangan benda diperbesar searah dengan sudut dilatasi awal? Sampai di sini, apakah Sobat sudah paham? Jika sudah, mari kita lanjut ke pembahasan selanjutnya.
Dilatasi Terhadap Titik Tengah (a,b)
Jika titik A mengalami dilatasi terhadap titik pusat (a,b) dengan faktor pengali k, maka secara matematis dapat dinyatakan sebagai:
Lalu, bagaimana cara menentukan koordinat ujung dilatasi? Koordinat akhir dapat ditemukan dengan persamaan matriks berikut.
Baca Juga:
Agar Anda lebih paham, mari kita lihat contoh soalnya.
Sebuah segitiga ABC memiliki koordinat berikut.
- Titik A = (4, 6)
- Titik B = (2, 2)
- Titik C = (6, 2)
Jika segitiga tersebut dilebarkan ke titik pusat (2, -2) dengan faktor pengali = -1/2, tentukan bayangan benda dan hasil dilatasinya!
Baca Juga:
Diskusi:
Sebelum memplot titik A, B, dan C pada koordinat kartesius, sebaiknya tentukan koordinat hasil dilatasi terlebih dahulu.
Koordinat titik A’
Baca Juga:
Diberi titik A (4, 6), k = -1/2
Jadi, A’ = (1, -6).
Koordinat titik B’
Baca Juga:
Diberi titik B (2, 2), k = -1/2
Jadi, B’ = (2, -4).
Koordinat titik C’
Baca Juga:
Diberi titik C (6, 2), k = -1/2
Jadi, C’ = (0, -4).
Jika titik-titik ini disubstitusi ke dalam koordinat Cartesian, gambar berikut akan diperoleh.
Baca Juga:
Karena faktor dilatasi k = -1/2, bayangan benda diperkecil ke arah sudut dilatasi yang berlawanan dengan sudut dilatasi semula.
Contoh soal
Untuk mengasah pemahaman Anda, mari kita lihat contoh soal seperti di bawah ini.
Contoh Soal 1
Titik Q (6,3) melebar terhadap pusat (3, -5). Jika pengalinya adalah -1, tentukan koordinat titik akhir Q.
Baca Juga:
Diskusi:
Untuk mencari koordinat titik akhir Q, gunakan persamaan berikut.
Jadi, koordinat akhir titik Q atau titik Q’ (-2, -6).
Baca Juga:
Contoh Soal 2
PQRS persegi memiliki koordinat berikut.
- Titik P(2,-2)
- Titik Q(4,-2)
- Titik R(2, -4)
- Titik S(4,-4)
Bentuk tersebut diterjemahkan ke titik tengah (0,0) dengan faktor pengali 3/2. Gambarlah dilatasi persegi PQRS!
Diskusi:
Baca Juga:
Pertama, Anda harus menentukan koordinat akhir dari setiap titik.
Titik P’
Jadi, koordinat titik P’ = (3,-3).
Baca Juga:
titik Q’
Jadi, koordinat titik Q’ = (6,-3).
titik R’
Baca Juga:
Dengan demikian, koordinat titik R’ = (3,-6).
S’point
Jadi, titik koordinat R’ = (6, -6).
Baca Juga:
Jika kedua gambar tersebut dijelaskan dalam koordinat Cartesian, diperoleh gambar berikut.
Contoh Soal 3
Titik A dengan koordinat (3, 9) didilatasi terhadap titik pusat (a, b) dengan faktor pengali 2, sehingga diperoleh koordinat akhir A’ (5, 16). Tentukan koordinat pusat dilatasi!
Diskusi:
Baca Juga:
Dikenal:
x = 3
y = 9
Baca Juga:
k = 2
x’ = 5
y’ = 16
Baca Juga:
Ditanya: (a,b) =…?
Menjawab:
Untuk menentukan pusat dilatasi, gunakan persamaan dilatasi terhadap titik pusat (a,b) sebagai berikut.
Baca Juga:
Dari persamaan di atas, diperoleh:
5 = 6 – 2a + a
⇔ a = 1
Baca Juga:
16 = 18 – 2b + b
⇔b = 2
Jadi, kita mendapatkan a = 1 dan b = 2.
Baca Juga:
Jadi, koordinat titik pusat (a,b) adalah (1, 2).
Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bermanfaat, ya. Untuk mendapatkan materi lengkapnya, buruan gabung dengan Quipper Video. Salam Quippers!
www.quipper.com
Baca Juga:
