Rumus dan Jenis Dilatasi Matematika serta Contoh Soal

Hai Sobat, apa kabar? Semoga sehat selalu, ya.

Apakah Anda pernah menggunakan alat zoom/pembesaran saat memotret suatu objek? Jika Anda memperbesar suatu objek melalui kamera, pasti akan muncul keterangan 1,5x; 2x; 3,5x; 3,9x; dan seterusnya kan? Dalam Matematika, deskripsi 2x atau 4x adalah faktor pengali sedangkan proses pembesaran yang Anda lakukan disebut dilatasi. Lalu, apa yang dimaksud dengan dilatasi? Daripada penasaran, yuk simak selengkapnya!

Definisi Dilatasi

Dilatasi adalah perubahan titik suatu benda pada bidang geometri berdasarkan nilai faktor pengalinya. Pada jenis transformasi ini, ukuran bayangan bisa berbeda dengan ukuran objek. Namun, bisa juga ukuran bayangannya tetap. Namun, bentuknya tetap sama, ya. Mengapa demikian? Ini karena faktor pengali. Misalnya, jika suatu benda diperbesar dengan faktor pengali = 2, maka bayangan benda tersebut dua kali lipat dari benda aslinya dan jarak bayangan dari pusat juga dua kali jarak antara benda dan pusat aslinya.

Faktor Pengali Dalam Dilatasi

Faktor pengali adalah faktor penentu letak dan ukuran suatu benda hasil dilatasi. Lalu, apa hubungan antara dilatasi dan pengganda?

  • Faktor pengali yang lebih besar dari satu (k > 1) akan menghasilkan pembesaran ukuran benda dan searah dengan sudut dilatasi benda semula.
  • Faktor pengali sama dengan satu (k = 1) tidak mengakibatkan perubahan ukuran atau posisi benda.
  • Faktor pengali antara 0 dan 1 (0 < k < 1) menghasilkan pengurangan ukuran benda dan searah dengan sudut dilatasi awal.
  • Pengali antara -1 dan 0 (-1 < k < 0) menghasilkan ukuran benda yang mengecil dan memiliki arah yang berlawanan dengan sudut dilatasi awalnya.
  • Faktor pengali sebesar -1 (k = -1) tidak mengakibatkan perubahan besar benda, melainkan berlawanan arah dengan sudut dilatasi awal.
  • Faktor pengali yang lebih kecil dari -1 (k < – 1) menghasilkan pembesaran ukuran benda dan arahnya berlawanan dengan sudut dilatasi awal.

Jenis Dilatasi

Berdasarkan titik pusatnya, dilatasi dibagi menjadi dua yaitu dilatasi ke titik pusat (0, 0) dan dilatasi ke titik pusat (a,b). Apa perbedaan antara keduanya?

Dilatasi Terhadap Titik Tengah (0, 0)

Bentuk umum dilatasi titik A terhadap titik pusat (0, 0) dapat dinyatakan sebagai berikut.

1676711405 493 Rumus dan Jenis Jenis Dilatasi Matematika serta Contoh Soal.webp

Bentuk penulisan di atas menunjukkan bahwa titik A yang berkoordinat (x,y) didilatasi terhadap titik pusat (0,0) dengan faktor pengali k, sehingga menghasilkan titik A’ yang berkoordinat (x’,y’).

Sekarang, koordinat (x’, y’), dapat ditentukan menggunakan persamaan matriks seperti di bawah ini.

1676711405 863 Rumus dan Jenis Jenis Dilatasi Matematika serta Contoh Soal.webp

Agar lebih paham, lihat contoh soal.

Sebuah benda berbentuk persegi panjang PQRS berada pada bidang koordinat kartesius sebagai berikut.

Sebuah benda berbentuk persegi panjang PQRS berada pada bidang koordinat kartesius sebagai berikut

Jika benda dilebarkan ke titik pusat dengan k = 2, tentukan bayangan yang terjadi!

Diskusi:

Tentukan terlebih dahulu koordinat titik P, titik Q, titik R, dan titik S seperti pada tabel.

Titik Koordinat
P (1, 3)
Q (4, 3)
R (1, 2)
S (4, 2)

Selanjutnya, tentukan koordinat titik P’, titik Q’, titik R’, dan titik S’ dengan persamaan dilatasi terhadap titik pusat.

Titik P’

1676711407 420 Rumus dan Jenis Jenis Dilatasi Matematika serta Contoh Soal.webp

Jadi P’ = (2, 6)

titik Q’

1676711407 602 Rumus dan Jenis Jenis Dilatasi Matematika serta Contoh Soal.webp

Jadi Q’ = (8, 6)

titik R’

1676711408 737 Rumus dan Jenis Jenis Dilatasi Matematika serta Contoh Soal.webp

Jadi R’ = (2, 4)

S’point

Rumus dan Jenis Jenis Dilatasi Matematika serta Contoh Soal

Jadi S’ = (8, 4)

Diperoleh:

titik pangkal Koordinat Titik akhir Koordinat
P (1, 3) P’ (2, 6)
Q (4, 3) Q’ (8, 6)
R (1, 2) R’ (2, 4)
S (4, 2) S’ (8, 4)

Jika dideskripsikan dalam koordinat Cartesian menjadi:

1676711408 94 Rumus dan Jenis Jenis Dilatasi Matematika serta Contoh Soal.webp

Dapatkah Anda melihat apakah bayangan benda diperbesar searah dengan sudut dilatasi awal? Sampai di sini, apakah Sobat sudah paham? Jika sudah, mari kita lanjut ke pembahasan selanjutnya.

Dilatasi Terhadap Titik Tengah (a,b)

Jika titik A mengalami dilatasi terhadap titik pusat (a,b) dengan faktor pengali k, maka secara matematis dapat dinyatakan sebagai:

1676711409 678 Rumus dan Jenis Jenis Dilatasi Matematika serta Contoh Soal.webp

Lalu, bagaimana cara menentukan koordinat ujung dilatasi? Koordinat akhir dapat ditemukan dengan persamaan matriks berikut.

1676711409 473 Rumus dan Jenis Jenis Dilatasi Matematika serta Contoh Soal.webp

Agar Anda lebih paham, mari kita lihat contoh soalnya.

Sebuah segitiga ABC memiliki koordinat berikut.

  • Titik A = (4, 6)
  • Titik B = (2, 2)
  • Titik C = (6, 2)

Jika segitiga tersebut dilebarkan ke titik pusat (2, -2) dengan faktor pengali = -1/2, tentukan bayangan benda dan hasil dilatasinya!

Diskusi:

Sebelum memplot titik A, B, dan C pada koordinat kartesius, sebaiknya tentukan koordinat hasil dilatasi terlebih dahulu.

Koordinat titik A’

Diberi titik A (4, 6), k = -1/2

1676711409 430 Rumus dan Jenis Jenis Dilatasi Matematika serta Contoh Soal.webp

Jadi, A’ = (1, -6).

Koordinat titik B’

Diberi titik B (2, 2), k = -1/2

1676711410 269 Rumus dan Jenis Jenis Dilatasi Matematika serta Contoh Soal.webp

Jadi, B’ = (2, -4).

Koordinat titik C’

Diberi titik C (6, 2), k = -1/2

1676711410 275 Rumus dan Jenis Jenis Dilatasi Matematika serta Contoh Soal.webp

Jadi, C’ = (0, -4).

Jika titik-titik ini disubstitusi ke dalam koordinat Cartesian, gambar berikut akan diperoleh.

1676711411 602 Rumus dan Jenis Jenis Dilatasi Matematika serta Contoh Soal.webp

Karena faktor dilatasi k = -1/2, bayangan benda diperkecil ke arah sudut dilatasi yang berlawanan dengan sudut dilatasi semula.

Contoh soal

Untuk mengasah pemahaman Anda, mari kita lihat contoh soal seperti di bawah ini.

Contoh Soal 1

Titik Q (6,3) melebar terhadap pusat (3, -5). Jika pengalinya adalah -1, tentukan koordinat titik akhir Q.

Diskusi:

Untuk mencari koordinat titik akhir Q, gunakan persamaan berikut.

1676711411 262 Rumus dan Jenis Jenis Dilatasi Matematika serta Contoh Soal.webp

Jadi, koordinat akhir titik Q atau titik Q’ (-2, -6).

Contoh Soal 2

PQRS persegi memiliki koordinat berikut.

  • Titik P(2,-2)
  • Titik Q(4,-2)
  • Titik R(2, -4)
  • Titik S(4,-4)

Bentuk tersebut diterjemahkan ke titik tengah (0,0) dengan faktor pengali 3/2. Gambarlah dilatasi persegi PQRS!

Diskusi:

Pertama, Anda harus menentukan koordinat akhir dari setiap titik.

Titik P’

1676711411 746 Rumus dan Jenis Jenis Dilatasi Matematika serta Contoh Soal.webp

Jadi, koordinat titik P’ = (3,-3).

titik Q’

1676711412 51 Rumus dan Jenis Jenis Dilatasi Matematika serta Contoh Soal.webp

Jadi, koordinat titik Q’ = (6,-3).

titik R’

1676711413 0 Rumus dan Jenis Jenis Dilatasi Matematika serta Contoh Soal.webp

Dengan demikian, koordinat titik R’ = (3,-6).

S’point

1676711413 252 Rumus dan Jenis Jenis Dilatasi Matematika serta Contoh Soal.webp

Jadi, titik koordinat R’ = (6, -6).

Jika kedua gambar tersebut dijelaskan dalam koordinat Cartesian, diperoleh gambar berikut.

1676711413 815 Rumus dan Jenis Jenis Dilatasi Matematika serta Contoh Soal.webp

Contoh Soal 3

Titik A dengan koordinat (3, 9) didilatasi terhadap titik pusat (a, b) dengan faktor pengali 2, sehingga diperoleh koordinat akhir A’ (5, 16). Tentukan koordinat pusat dilatasi!

Diskusi:

Dikenal:

x = 3

y = 9

k = 2

x’ = 5

y’ = 16

Ditanya: (a,b) =…?

Menjawab:

Untuk menentukan pusat dilatasi, gunakan persamaan dilatasi terhadap titik pusat (a,b) sebagai berikut.

1676711414 832 Rumus dan Jenis Jenis Dilatasi Matematika serta Contoh Soal.webp

Dari persamaan di atas, diperoleh:

5 = 6 – 2a + a

⇔ a = 1

16 = 18 – 2b + b

⇔b = 2

Jadi, kita mendapatkan a = 1 dan b = 2.

Jadi, koordinat titik pusat (a,b) adalah (1, 2).

Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bermanfaat, ya. Untuk mendapatkan materi lengkapnya, buruan gabung dengan Quipper Video. Salam Quippers!

www.quipper.com

Share:

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *