Pahami Integral Tentu dari Pengertian, Sifat hingga Penerapannya

Hai Sobat, saat belajar Matematika, pernahkah kamu diminta untuk menentukan luas bangun di bawah kurva? Misalnya, jika Anda mengetahui kurva Gaussian, maka Anda diminta untuk menentukan luas awal X = A sampai X = b? Coba lihat, area di bawah kurva itu kontinyu, artinya tidak berhenti. Nah, cara termudah untuk menyelesaikan luas di bawah kurva adalah dengan menggunakan sistem integral tertentu. Lalu, apa yang dimaksud dengan integral tertentu? Daripada penasaran, yuk simak selengkapnya!

Definisi Integral Mutlak

integral tertentu (integral tertentu) adalah integral yang memiliki batas nilai tertentu, sehingga hasil akhirnya dapat ditentukan dengan pasti. Batas nilai adalah nilai variabel dari fungsi yang telah diintegrasikan. Dalam Matematika, integral tertentu dapat digunakan untuk mencari luas daerah di bawah kurva, volume benda berputar yang dibatasi titik tertentu, luas daerah yang dibatasi kurva tertentu, dan lain-lain. Contoh penulisan integral tertentu adalah sebagai berikut.

Dengan:

A = batas bawah; Dan

B = batas atas

Dari bentuk di atas tentunya kamu sudah tahu kan perbedaan mendasar antara integral tentu dan integral tak tentu? Yap, benar. Perbedaan mendasar antara kedua integral tersebut terletak pada apakah ada batasan variabel, ya. Sedangkan langkah-langkah pengolahan integralnya sama.

Properti Integral Mutlak

Sifat-sifat integral tentu saja berkaitan dengan linearitasnya, perubahan batasnya, dan penambahan batasnya. Ciri-ciri yang dimaksud adalah:

Properti Linearitas

Sifat kelinieran integral tertentu sama dengan sifat kelinieran integral tak tentu, yaitu sebagai berikut.

Sifat pertama

Sifat pertama adalah sifat integral yang memuat konstanta di depan fungsi sebagai berikut.

sifat kedua

Sifat kedua berlaku untuk integral penjumlahan dua fungsi sebagai berikut.

Anda dapat memecah proses penjumlahan integral dua fungsi ke jumlah integral dari setiap fungsi dengan batas yang sama.

Sifat ketiga

Sifat ketiga berkaitan dengan integral dari pengurangan dua fungsi.

Konsepnya sama dengan penjumlahan. Hanya saja sifat komutatif tidak berlaku pada pengurangan dimana A – B ≠ B – A.

Sifat Perubahan Batas

Sifat ini berlaku jika ada perubahan pada limit integral. Perubahan tersebut dapat berupa pembalikan limit atau penambahan limit.

Sifat pembalikan batas

Limit integral suatu fungsi dapat dibalik A sampai B menjadi B sampai Adengan syarat tanda fungsi harus berlawanan, yaitu sebagai berikut.

Apakah hasilnya sama? Tentu saja sama, ya. Jika tidak percaya, buktikan hasil integral berikut.

Sifat dari batas tambahan

Selain dibalik, Anda juga bisa menambahkan batas integral, misalnya dari A sampai B menjadi A sampai C. Anda dapat mengatasi batas tambahan ini dengan properti berikut.

Membatasi A sampai C dapat digambarkan sebagai A sampai B Kemudian B sampai C.

Penerapan Integral Mutlak

Dalam Matematika, sistem integral tertentu ini biasa digunakan untuk menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan fungsi kontinu. Misalnya menentukan luas di bawah kurva dan menentukan volume benda berputar yang dibatasi oleh beberapa fungsi. Bagaimana caranya? Yuk, simak uraiannya di bawah ini.

Menentukan Area di Bawah Kurva F(X) yang dibatasi sumbu x

Pernahkah Anda menemukan pertanyaan yang berkaitan dengan area di bawah kurva? Jika kurvanya berupa garis lurus tentunya cukup mudah, karena Anda bisa menggunakan rumus luas bangun datar. Namun, bagaimana jika kurva tersebut berupa garis lengkung?

Misalnya, luas S berada di bawah kurvalinier f(x) (kondisi f(x) > 0) dan di atas sumbu x dengan batas bawah X = A dan batas atas X = b sebagai berikut.

Untuk menentukan luas S, Anda dapat menggunakan sistem integral tertentu sebagai berikut.

Dengan:

L_S = luas S;

A = batas bawah;

B = batas atas; Dan

f(x) = fungsi kurva.

Ingat, jika kurva berada di bawah sumbu x dan berada di sebelah kiri sumbu y, maka Anda harus menambahkan tanda negatif di depan persamaan integral.

Untuk lebih memahami, perhatikan contoh berikut.

Tentukan luas daerah di bawah kurva F(X) = X² + 1 dibatasi oleh sumbu x dengan batas bawah X = -1 dan batas atas X = 0!

Diskusi:

Pertama, uraikan terlebih dahulu luas area yang dimaksud.

Karena luas yang dimaksud berada di sebelah kiri sumbu y, Anda harus menambahkan tanda negatif di depan persamaan integral, yaitu sebagai berikut.

Jadi, luas yang dimaksud adalah 2/3 satuan luas.

Menentukan Luas yang Dibatasi oleh Dua Kurva, F(X) Dan G(X)

Sebelumnya, kamu telah mempelajari cara mencari luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) dan sumbu x. Kali ini, Anda akan belajar menentukan luas yang dibatasi oleh dua buah kurva dengan fungsi yang berbeda. Lihatlah gambar berikut.

Gambar di atas menunjukkan bahwa luas S dibatasi oleh kurva f(x) dan g(x) dengan batas bawah X = A dan batas atas X = B. Luas S dapat ditentukan dengan persamaan integral berikut.

Dengan ketentuan: F(X) ≥ G(X).

Ada poin penting yang harus diperhatikan Sobat saat menyelesaikan luas yang dibatasi oleh dua kurva, yaitu kurva yang membatasi luas bagian atas berfungsi sebagai F(X). sedangkan kurva yang membatasi luasan bagian bawah berfungsi sebagai G(X). Artinya, penentuan f(x) atau g(x) tidak bisa sembarangan.

Untuk lebih memahaminya, mari kita lihat contoh berikut.

Temukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = -x² + 3x dan y = x² dengan batas bawah X = 0 sampai X = 1!

Diskusi:

Pertama, Anda harus mendeskripsikan luas wilayah yang dimaksud.

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = -x² + 3x dan y = x² dengan batas bawah X = 0 sampai X = 1 diarsir dengan warna biru. Dari gambar di atas terlihat bahwa bagian atas daerah yang diarsir dibatasi oleh y =- x² + 3x dan batas bawahnya adalah y = x². Untuk menentukan luas daerah, gunakan persamaan berikut.

Jadi, luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = -x² + 3x dan y = x² dengan batas bawah X = 0 sampai X = 1 adalah 5/6 satuan luas.

Menentukan Volume Benda Berputar Kurva Di Sekitar Sumbu X

Siapa sangka volume benda yang berputar dapat ditentukan dengan menggunakan mekanisme integral Kamu tahu. Misalnya, kurva diputar di sekitar sumbu x sebesar 360^Hai seperti berikut ini.

Untuk menentukan volume hasil rotasi kurva di sekitar sumbu x, gunakan persamaan di bawah ini.

Dengan:

V = volume benda yang berputar;

f(x) = fungsi kurva;

A = batas bawah; Dan

B = batas atas

Menentukan Volume Kurva Putar Satu di Sekitar Sumbu Y

Mekanisme integral juga dapat digunakan untuk menentukan volume benda berotasi melengkung yang diputar mengelilingi sumbu y. Jika diuraikan menjadi sebagai berikut.

Area putaran yang dihasilkan memiliki batas bawah y = C dan batas atas y = D. Lalu, bagaimana cara menentukan volume benda yang berputar? Untuk menentukan volume, gunakan persamaan berikut.

Dengan:

V = volume benda yang berputar;

f(y) = fungsi kurva;

C = batas bawah; Dan

D = batas atas

Menentukan Volume Dua Kurva Memutar Objek Di Sekitar Sumbu X

Jika dua kurva sejajar diputar mengelilingi sumbu x sebesar 360^Haimaka akan terbentuk luas volume sebagai berikut.

Volume benda yang berputar pada sumbu x yang dibatasi oleh dua buah kurva dapat ditentukan dengan persamaan di bawah ini.

Volume benda berputar yang dibatasi oleh kedua kurva tersebut dapat ditentukan dengan persamaan di bawah ini.

Menentukan Volume Dua Kurva Di Sekitar Objek Berputar Sumbu Y

Langkah-langkah untuk menentukan volume benda yang berputar dengan dua kurva di sekitar sumbu y dimulai dengan cara yang sama seperti benda berputar lainnya, yaitu dengan menggunakan mekanisme integral.

Persamaan integral untuk menentukan volume benda yang berputar di atas adalah sebagai berikut.

Sampai di sini, apakah Sobat sudah paham?

Jika ya, mari kita lanjutkan ke contoh soal!

Contoh integral tertentu

Contoh soal integral kali ini berkaitan dengan volume benda yang berputar ya.

Contoh Soal 1

Tentukan volume benda berputar yang dibatasi oleh y = X + 3 dan diputar 360^Hai terhadap sumbu x dengan limit X = 1 dan X = 3!

Diskusi:

Anda dapat menentukan volume benda yang berputar dengan cara berikut.

Jadi, volume benda yang berputar _{satuan volum.}

Contoh Soal 2

Hitunglah volume benda berotasi yang dibatasi oleh kurva tersebut y = 9 – X² dan diputar terhadap sumbu y sebesar 360^Hai!

Diskusi:

Karena diputar terhadap sumbu y, Anda harus mengubah persamaan fungsinya menjadi y.

Selanjutnya, tentukan limit pada sumbu y dengan mendeskripsikan fungsi dalam koordinat Cartesian.

Dari kurva di atas diperoleh batas bawah y = 0 dan batas atas y = 9.

Kemudian, substitusikan nilainya X² pada persamaan volume kurva diputar di sekitar sumbu y.

Jadi, volume benda yang berputar adalah _{satuan volum.}

Contoh Soal 2

Kurva yang diketahui _.

Tentukan perbandingan volume benda yang berotasi jika kurva diputar mengelilingi sumbu x dan sumbu y sebesar 360^Hai dengan batas bawah X = 0 dan batas atas X = 4!

Diskusi:

Pertama, gambarkan terlebih dahulu bentuk kurvanya sehingga Anda mengetahui batas-batas yang bertemu dengannya pada sumbu y.

Jika batas bawah sumbu x = 0 dan batas atas = 4, maka diperoleh batas bawah sumbu y = 0 dengan batas atas = 6. Artinya:

• X = 0 dan X = 4
• y = 0 dan y = 6

Kemudian, tentukan volume benda yang berotasi jika kurva tersebut diputar 360 derajat^Hai pada sumbu x.

Selanjutnya, tentukan volume benda yang berotasi jika kurva diputar terhadap sumbu y sebesar 360^Hai.

Nilai pengganti X² pada persamaan volume benda yang berputar V_y.

Dengan demikian, perbandingan antara V_X dan V_Y adalah sebagai berikut.

Jadi, perbandingan volume benda saat kurva diputar terhadap sumbu x dan sumbu y adalah 5:4.

Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bermanfaat, ya. Untuk mendapatkan materi lengkapnya, buruan gabung dengan Quipper Video. Salam Quippers!