Integral Tak Tentu: Pengertian, Sifat-sifat dan Contoh Soal
Hai Sobat, tentu kamu sudah pernah belajar tentang turunan kan? Sebagai contoh, kita mengetahui fungsi posisi suatu benda. Untuk menentukan kecepatan suatu objek, Anda harus menurunkan fungsi dari variabel fungsinya. Ternyata turunan tersebut memiliki invers yang disebut antiturunan, Kamu tahu. Nah, antiturunannya biasa disebut dengan integral. Pada artikel kali ini Quipper Blog akan mengajak Sobat untuk membahas salah satu jenis integral yaitu integral tak tentu. Apa yang dimaksud dengan integral tak tentu? Yuk, lihat selengkapnya!
Definisi integral tak tentu
integral tak tentu (integral tak tentu) merupakan integral yang tidak memiliki batasan nilai tertentu, sehingga hanya diperoleh fungsi umum yang disertai dengan konstanta C. Setiap bentuk operasi matematika pasti memiliki operasi balikan atau invers, seperti penjumlahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian, akar dan eksponen. Kebalikannya juga berlaku untuk turunan, di mana kebalikan dari turunannya adalah integral. Saat belajar turunan, pasti kamu akan menemukan tulisan fungsi yang disertai dengan tanda kutip, seperti f'(x), kan? Arti dari f'(x) adalah turunan dari fungsi f(x). Jadi bagaimana Anda mendapatkan f(x) jika Anda tahu f'(x)? Nah, f(x) dapat ditemukan dengan mengintegrasikan fungsi f'(x) dengan dx. Simbol integral menyerupai huruf “S”. Hanya saja lekuk perutnya rata, yaitu””. Fungsi yang akan diintegrasikan ditempatkan tepat di depan tanda, misalnya .
Persamaan Dasar Integral Tak Tentu
Persamaan dasar integral tak tentu adalah rumus umum untuk mengubah fungsi turunan menjadi fungsi integral. Persamaan dasarnya adalah sebagai berikut.
kondisi N ≠ -1
Baca Juga:
Persamaan di atas menunjukkan bahwa proses integrasi menyebabkan kenaikan rank suatu fungsi, dimana fungsi tersebut awalnya memiliki rank N dan fungsi integrasi diberi peringkat N +1.
Perhatikan contoh berikut.
Tentukan hasil integral dari !
Diskusi:
Baca Juga:
Untuk menentukan hasilnya, Anda hanya perlu mengubah hasil integral sesuai dengan persamaan dasar.
Akibatnya, integralnya ada di dalam persegi.
Sifat integral tak tentu
Sifat-sifat integral tak tentu merupakan bentuk lain dari operasi integral sehingga dapat memudahkan Anda dalam menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan integral. Sifat-sifat integral tak tentu adalah sebagai berikut.
Alam Pertama
Properti pertama berkaitan dengan integral fungsi yang berisi konstanta seperti:
Baca Juga:
Jika Anda menemukan bentuk seperti di atas, cukup keluarkan konstanta k dari tanda integral, sehingga Anda dapat berfokus pada penyelesaian fungsi integral. Contoh:
Sifat Kedua
Sifat kedua berlaku untuk penjumlahan dua fungsi dalam integral sebagai berikut.
Anda dapat mengonversi dua fungsi yang dijumlahkan dalam satu tanda integral menjadi jumlah integral dari setiap fungsi. Properti ini dapat memudahkan Anda untuk menyelesaikan fungsi yang panjang. Misalnya:
Sifat Ketiga
Sifat ketiga berlaku untuk pengurangan dua fungsi dalam satu tanda integral. Konsepnya sama dengan penambahan dua fungsi, ya.
Baca Juga:
Ingat, sifat komutatif tidak berlaku untuk pengurangan.
Lalu, bagaimana dengan perkalian dua fungsi integral? Dalam perkalian dua fungsi, Anda harus mengalikan semua elemen dari fungsi tersebut satu per satu untuk menghasilkan bentuk penjumlahan. Misalnya, (X – 2)(X + 5) = X2 +3X – 10.
Namun khusus untuk perkalian dan pembagian dua fungsi pada integral akan anda pelajari pada bab lain yaitu bab integral parsial dan substitusi.
Sampai di sini, apakah Anda mengerti?
Baca Juga:
Masalah Terkait dengan Integral tak tentu
Siapa bilang integral hanya simbol matematika belaka. Sebenarnya, ada beberapa masalah yang bisa diselesaikan dengan konsep integral tak tentu. Contoh soal yang berkaitan dengan integral tak tentu adalah sebagai berikut.
Menentukan Fungsi Kurva dari Gradien yang Diketahui
Seperti yang Anda ketahui, gradien adalah turunan pertama dari fungsi kurva. Jika Anda mengetahui persamaan gradien, maka Anda diminta untuk menentukan kurva, lalu integrasikan fungsi gradien yang diketahui.
Untuk lebih jelasnya lihat contoh.
Garis singgung kurva F(X). Kurva melewati titik (1, 2). Jika gradien garis singgung dinyatakan sebagai f'(x) = 2x + 5, tentukan persamaan kurvanya!
Baca Juga:
Diskusi:
Pertama, tentukan fungsi kurva dengan mengintegrasikan fungsi gradien garis singgung.
Karena kurva melewati titik (1, 2), maka gantikan X = 1 dan F(X) = 2 pada persamaan kurva di atas.
Jadi, persamaan kurvanya adalah F(X) = X2 + 5X – 4.
Baca Juga:
Fungsi Menentukan Kecepatan dan Posisi
Di Fisika pasti sudah mengenal istilah posisi, kecepatan, dan percepatan kan? Ternyata ketiga besaran ini saling berhubungan. Kamu tahu. Kecepatan adalah turunan pertama dari fungsi posisi dan percepatan adalah turunan pertama dari fungsi kecepatan. Artinya, Anda dapat menentukan fungsi kecepatan dari fungsi percepatan. Caranya dengan memanfaatkan sistem integral. Demikian juga fungsi posisi dapat diketahui dari fungsi kecepatan atau fungsi percepatan. Berikut persamaan integralnya.
Dengan:
A(T) = fungsi percepatan;
ay(T) = fungsi kecepatan;
Baca Juga:
S(T) = fungsi posisi; Dan
C = konstanta.
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh di bawah ini.
Sebuah partikel bergerak dengan fungsi kecepatan ay(T) = 6T2 – 4T. Jika jarak yang ditempuh oleh partikel saat ini T = 1 s sama dengan 2 m, tentukan fungsi posisi partikel!
Baca Juga:
Diskusi:
Pertama, tentukan fungsi posisi dengan mengintegrasikan fungsi kecepatan di atas.
Kemudian, pengganti T = 1 sekon dan S(1) = 2 pada persamaan fungsi posisi di atas.
Jadi, persamaan fungsi posisinya adalah S(T) = 2T3 – 2T2 +2.
Baca Juga:
Integral Tentu Fungsi Trigonometri
Ternyata tidak hanya fungsi aljabar yang bisa diintegrasikan, tapi juga fungsi trigonometri. Bentuk integral dari fungsi trigonometri adalah sebagai berikut.
Jika kamu menemui soal integral trigonometri, manipulasi fungsi tersebut sedemikian rupa sehingga mengarah ke bentuk di atas ya?
Contoh Soal Integral Tak Tentu
Setelah mempelajari materi, sekarang saatnya beralih ke contoh soal. Ayo, bergembiralah!
Contoh Soal 1
Tentukan hasil integral berikut.
Baca Juga:
Diskusi:
Contoh soal nomor 1 ini berkaitan dengan sifat kedua integral tak tentu, yaitu integral dari jumlah dua fungsi sama dengan jumlah integral dari masing-masing fungsi.
Jadi, integralnya adalah 32×4+43×3-37x+C.
Contoh Soal 2
Garis k bersinggungan dengan kurva yang memiliki persamaan F(X) dengan fungsi gradien sebagai berikut.
Baca Juga:
M(X) = 3X – 4
Jika kurva tersebut melalui titik (0, 3), tentukan persamaan kurva tersebut!
Diskusi:
Dikenal:
Baca Juga:
M(X) = 3X – 4
Pertama, tentukan fungsi kurva dengan mengintegrasikan fungsi gradien garis singgung.
Karena kurva melewati titik (0, 3), maka gantikan X = 0 dan F(0) = 3 pada persamaan kurva di atas.
Jadi, persamaan kurvanya adalah
Baca Juga:
Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bermanfaat, ya. Untuk mendapatkan materi lengkapnya, buruan gabung dengan Quipper Video. Salam Quippers!
Contoh Soal 3
Tentukan hasil integral dari fungsi berikut.
Diskusi:
Hasil integralnya adalah sebagai berikut.
Baca Juga:
Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bermanfaat, ya. Untuk mendapatkan materi lengkapnya, buruan gabung dengan Quipper Video. Salam Quippers!
www.quipper.com
Artikel Terkait
