5 Menit Paham – Pengertian dan Contoh Soal Deret Angka

Anda ingat menghitung deret di sekolah? Apakah Anda tahu cara menghitung suku ke-n dari sebuah barisan aritmatika atau geometri, atau bahkan harmonik? Jika tidak, maka artikel ini adalah untuk Anda. Dengan hanya 5 menit waktu, Anda akan paham dengan pengertian dan contoh soal deret angka.

Pengenalan Konsep Barisan dan Deret

Barisan dan deret adalah konsep penting dalam matematika. Barisan adalah himpunan angka yang memiliki pola tertentu, sedangkan deret adalah barisan yang mengalami perubahan yang teratur. Suku-sukudalam deret disebut dengan anggotanya. Contoh, barisan bilangan bulat positif 1, 2, 3, 4,…berisi bilangan bulat positif yang bertambah secara berurutan satu per satu.

Berbagai jenis deret dapat dibedakan berdasarkan pola perubahannya. Misalnya, barisan aritmatika adalah barisan bilangan dimana setiap anggota yang berikutnya bertambah secara konstan; contohnya 5, 10, 15, 20….misalkan dengan rasio bertambah yaitu sebesar 5.

Barisan geometri merupakan barisan dimana setiap anggota yang berikutnya mengalami pengali konstan; misalkan 1/2 , 1/4, 1/8…maka rasio pengalinya adalah sebesar 1/2. Barisan harmonik adalah barisan dimana tiap anggota setelahnya memiliki hasil bagi tertentu dengan anggota sebelumnya; misalkan 8 + 4 + 2 +1 … maka rasio hasil baginya adalah sebesar 1/2.

Oleh karena itu, penting untuk dipahami bahwa barisan dan deret memiliki beberapa pola perubahan yang berbeda dan bervariasi yang harus diperhatikan dalam menyelesaikan masalah matematis.

Jenis Barisan dan Deret

Jenis utama barisan yang ada adalah barisan aritmatika, barisan geometri dan barisan harmonik. Barisan aritmatika adalah barisan yang menampilkan pola kelipatan yang sama. Sebagai contoh, deret angka dalam baris berikut ini merupakan bentuk dari sebuah barisan aritmatika: 7, 12, 17, 22, 27, dst. Dapat dilihat bahwa setiap suku berikutnya dari deret tersebut diperoleh dengan cara menambahkan jumlah 5 pada suku sebelumnya.

Barisan geometri adalah barisan yang menunjukkan pola pembagian yang sama. Sebagai contoh, deret angka dalam contoh berikut ini merupakan bentuk dari sebuah barisan geometri: 16 , 8 , 4 , 2 , 1 , dst.. Dapat dilihat bahwa setiap suku berikutnya dari deret tersebut diperoleh dengan cara membagi suku sebelumnya dengan jumlah 2. Oleh karena itu, nilai suku ke-n untuk barisan geometrik biasanya dihitung dengan menggunakan rumus a n = a 1 r n – 1 .

Barisan harmonik adalah barisan yang menunjukkan pola pembagian inverse yang sama. Sebagai contoh, deret angka dalam contoh berikut ini merupakan bentuk dari sebuah barisan harmonik: 1, 1/2 , 1/3 , 1/4 , 1/5 , dst.. Dalam hal ini, setiap suku berikutnya dari deret tersebut diperoleh dengan cara membagi jumlah satu pada suku sebelumnya. Oleh karena itu, nilai suku ke-n untuk barisan harmonik biasanya dihitung dengan menggun

Cara Menghitung Suku ke-n

Untuk menghitung suku ke-n berbagai jenis deret, kita harus terlebih dahulu menentukan titik awal dan besarnya perbedaan atau rasio yang menyertainya.

Menghitung suku ke-n dari barisan aritmatika dimulai dengan memberikan titik awal (a) dan besarnya perbedaan (d). Suku ke-n dihitung dengan persamaan a + n x d, di mana n adalah urutan suku dan d adalah perbedaan antar suku berurutan. Sebagai contoh, jika kita memiliki barisan aritmatika seperti 1, 4, 7, 10, … maka besarnya perbedaan adalah 3 (3 = 4 – 1; 7 – 4; 10 – 7). Titik awalnya adalah 1, dan suhu ke-5 adalah a + 5 x 3 atau 16.

Sedangkan untuk menghitung suku ke-n dari barisan geometri dimulai dengan memberikan titik awal (a) dan besarnya rasio (r). Suku ke-n dihitung menggunakan persamaan a x r^(n – 1), di mana n adalah urutan suku dan r adalah rasio antar suku berurutan. Sebagai contoh, jika kita memiliki barisan geometri seperti 2, 4, 8, 16, … maka titik awalnya adalah 2 dan rasio adalah 2 (2 = 4/2; 8/4; 16/8). Suhu ke-6 dalam barisan ini adalah a x r^(6 – 1) atau 32.

Terakhir, untuk menghitung suku ke-n dari barisan harmonik dimulai dengan memberikan titik awal (a) dan jumlah suku ke-n yang ingin dicari (s). Suku ke-n dihitung dengan persamaan a x (1 + 1/s

Jumlah Dari Berbagai Deret

Konsep barisan dan deret merupakan inti dari matematika modern, yang digunakan untuk berbagai tujuan, seperti menyelesaikan masalah sains, teknik, dan keuangan. Ada beberapa jenis barisan dan deret, dan setiap jenis memiliki cara sendiri untuk menghitung jumlah semua sukunya.

Pertama, mari kita fokus pada barisan aritmatika. Secara sederhana, barisan aritmatika adalah sebuah urutan angka yang berurut dengan cara tertentu. Misalnya, 3 + 4 + 5 + 6 + 7 merupakan contoh dari barisan aritmatika dimana bilangan awalnya adalah 3 dan beda antar-suku adalah 1 (tambah 1 untuk setiap sukunya). Dengan rumus khusus untuk barisan aritmatika, Anda dapat menghitung jumlah semua suku: Jumlah S = n (p + q) / 2. Dimana n adalah banyakne suku pada urutan tersebut dan p adalah bilangan awal Sedangkan q adalah bilangan akhir. Dengan demikian, untuk contoh kita sebelumnya (3+4+5+6+7), kita memiliki jumlah semua suku S = 5 (3+7) /2 = 15.

Selanjutnya, mari kita lihat deret geometri. Deret geometri adalah deret yang diatur dengan cara lain; di mana setiap suku didapat dari perkalian bilangan tertentu dengan suku sebelumnya. Misalnya, 10 -20 -40 -80 -160 merupakan contoh dari barisan geometri dengan bilangan awal 10 dan rasio 2 (dikali 2 untuk setiap sukunya). Untuk menghitung jum

Soal Latihan

Berikut ini adalah empat soal latihan yang dapat dipecahkan oleh pembaca. Pembaca dipersilakan untuk menganalisis contoh-contoh soal berikut untuk memahami konsep barisan dan deret. Setiap soal akan menguji kemampuan Anda dalam memecahkan masalah yang berhubungan dengan barisan dan deret. Selesaikan setiap soal sebaik mungkin dan lihat jawabannya di bagian akhir artikel.

Soal Latihan 1: Apa nilai x jika suku ke-20 dari barisan aritmatika 8, 11, 14, 17,…adalah 87?

Untuk jawaban ini, Anda harus mengetahui bahwa barisan aritmatika adalah jenis deret yang dimana tiap sukunnya bertambah secara konstan. Dengan demikian, kita dapat menggunakan persamaan suku ke-n = a + (n – 1)d untuk mencari nilai x. Dimana ‘n’ adalah suku ke-20, ‘a’ adalah suku pertama yang bernilai 8 dan ‘d’ adalah beda konstan yaitu 3 (11 – 8). Jadi, x = 8 + 19(3) = 65.

Soal Latihan 2: Berapakah jumlah dari pertama 50 suku Barisan Geometri 18, 6, 2, …?

Barisan geometri adalah jenis deret dimana tiap sukunya bertambah secara proporsional. Jadi, kita dapat menggunakan persamaan S50 = a(rn + 1 – r)/ (r – 1) untuk mencari jumlah pertama 50 suku barisan geometri. Di sini, ‘n’ adalah 50, ‘a’ adalah nilai suku pertama yang bernilai 18 dan ‘r

Jawaban Soal Latihan

Jawaban untuk soal nomor satu:

Soal nomor satu menanyakan tentang suku ke-12 dari deret aritmatika yang tingkat pertumbuhannya adalah 4. Oleh karena itu, suku ke-12 dapat ditemukan dengan menggunakan rumus an=a1+(n-1)d, di mana a1 adalah suku pertama dan d adalah tingkat pertumbuhan. Menggunakan nilai-nilai ini, maka suku ke-12 dalam barisan ini adalah 72.

Jawaban untuk soal nomor dua:

Soal nomor dua menanyakan tentang jumlah sembilan deret geometri yang berturut-turut sebesar ½, ¼, 1/8, 1/16, dan seterusnya. Untuk mencari jawabannya, Anda harus menggunakan rumus J=a(1-rn)/(1-r), di mana J merupakan jumlah yang ingin Anda cari, a adalah suku pertama dan r adalah tingkat pembesaran. Dengan menggunakan nilai tersebut, maka jumlah sembilan deret geometri tersebut bernilai 15/16.

Jawaban untuk soal nomor tiga:

Soal nomor tiga menanyakan tentang jumlah dari sembilan deret harmonik dengan suku awal sebagai berikut: 1, 1/2 , 1/3, 1/4 , 1/5 , dan seterusnya. Jika Anda ingin mencari jawabannya, Anda harus menggunakan rumus H=ln[(a1+a2+…+an)/n], di mana ln adalah natural logarithm. Dengan menggunakan nilai-nilai tersebut, maka jumlah sembilan deret harmonik tersebut bernilai 2.

Matematika barisan dan deret adalah bidang yang luas, yang melibatkan berbagai konsep dan teknik yang penting untuk dipelajari. Artikel ini berfokus pada pengenalan dasar tentang barisan dan deret, dan menyediakan contoh dan soal latihan untuk membantu dalam pembelajaran. Ini menunjukkan bahwa barisan dan deret bisa dimengerti dengan benar meskipun dalam jangka waktu yang singkat dan menyediakan dasar untuk pembelajaran lebih lanjut.