Rotasi Matematika: Pengertian, Faktor, Jenis dan Contoh soal

Pada pembahasan sebelumnya Quipper Blog sudah membahas tentang transformasi geometri ya? Ayo, ada berapa jenis Bagaimanapun transformasi geometri? Apakah Sobat masih ingat? Jika Anda masih ingat, coba sebutkan! Yupp benar, ada empat jenis transformasi geometri. Salah satunya adalah rotasi. Dalam Matematika, istilah ini disebut sebagai Rotasi Matematika. Lalu, apa yang dimaksud dengan rotasi Matematika? Yuk, simak ulasan lengkapnya!

Definisi Rotasi Matematika

Rotasi matematis adalah perpindahan suatu titik pada bidang geometris dengan cara memutar sejauh sudut α ke suatu titik tertentu. Rotasi titik-titik ini bisa searah jarum jam dan berlawanan arah jarum jam. Itu sebabnya, secara bergilir, berlaku kesepakatan sudut tanda. Sudut rotasi akan negatif jika arah rotasi titik searah jarum jam. Sebaliknya, sudut rotasi akan bernilai positif jika arah rotasi titik berlawanan arah jarum jam.

Faktor-faktor yang Mempengaruhi Rotasi Matematika

Hasil akhir atau bayangan yang dihasilkan pada event rotasi dipengaruhi oleh faktor-faktor berikut.

Titik Pusat Rotasi

Pusat rotasi merupakan titik yang dijadikan acuan untuk pergerakan rotasi dari titik awal ke titik akhir. Pusat putaran dibagi menjadi dua yaitu titik (0, 0) dan titik (A, B).

• Jika Sobat ingin memutar sebuah gambar dari titik (0, 0), berarti gambar tersebut diputar sejauh α dari titik (0, 0).
• Jika Sobat ingin memutar gambar dari titik (A, B), artinya benda dirotasi sejauh α dari titik (A, B).

Sudut Rotasi Besar

Besarnya sudut rotasi ini dapat dianalogikan dengan banyaknya pergeseran suatu bentuk atau titik. Besar kecilnya perputaran suatu gambar atau titik dipengaruhi oleh sudut perputarannya.

Arah Rotasi

Arah rotasi menunjukkan arah rotasi titik atau bentuk. Arah rotasi mempengaruhi tanda sudut rotasi seperti yang dibahas di atas.

Contoh:

• α = 90^Haiartinya suatu titik diputar 90 derajat^Hai berlawanan arah jarum jam.
• α = -90^Haiartinya suatu titik diputar 90 derajat^Hai arah searah jarum jam.

Ingin membuktikan kebenaran arah putaran ini? Ikuti terus artikelnya ya?

Jenis Rotasi Matematika

Berdasarkan titik pusatnya, rotasi Matematika dibagi menjadi dua yaitu rotasi terhadap titik pusat (0, 0) dan rotasi terhadap titik pusat (a,b). Jadi, apa perbedaan antara keduanya?

Rotasi Tentang Titik Tengah (0, 0)

Rotasi dapat dilambangkan sebagai R(P, α). Artinya, rotasi dengan titik pusat P sejauh α. Jika suatu titik A dirotasi sejauh α ke titik pusat (0, 0), secara matematis dapat dinyatakan sebagai berikut.

Anda dapat menyelesaikan pernyataan matematika di atas dengan konsep matriks sebagai berikut.

Untuk lebih memahaminya, mari kita lihat contoh di bawah ini.

Titik A yang memiliki koordinat (1, -3) diputar -90 derajat^Hai ke titik pusat (0, 0). Gambarkan posisi awal dan akhir titik A pada koordinat Cartesian!

Diskusi:

Pertama, tentukan koordinat akhir titik A dengan persamaan berikut.

Koordinat akhir dapat diselesaikan dengan konsep matriks di bawah ini.

Jadi, koordinat A’ (-3, -1).

Terakhir, plot koordinat A dan A’ pada koordinat Cartesius berikut.

Gambar pada koordinat Kartesius di atas membuktikan bahwa arah putaran sudut (-90^Hai) searah jarum jam. Sampai di sini, apakah Sobat sudah paham?

Rotasi tentang Titik Tengah (A, B)

Rotasi tidak harus berpusat pada titik (0, 0), tetapi juga dapat berpusat pada titik (A, B). Misalkan suatu titik P yang memiliki koordinat (x,y) mengalami rotasi sebesar α dengan titik pusat (a,b), maka persamaan rotasinya dapat dinyatakan sebagai:

Untuk menentukan koordinat akhir, gunakan persamaan berikut dalam bentuk matriks.

Agar lebih memahami cara mengaplikasikan rumus di atas, mari kita lihat contoh di bawah ini.

Segitiga KLM memiliki koordinat berikut.

• K titik (-4, 4)
• Titik L (-4, 2)
• N titik (-2, 2)

Jika angka tersebut diputar 180 derajat^Hai dengan titik tengah (1, 2), tentukan gambar bangun awal dan akhir!

Diskusi:

Pertama, tentukan koordinat akhir titik K, titik L, dan titik M.

titik K’

titik L’

titik M’

Dengan demikian diperoleh:

• Titik K’ (6, 0)
• Titik L’ (6, 2)
• Titik M’ (4, 2)

Jika diganti dengan koordinat Cartesian, gambar yang dihasilkan adalah sebagai berikut.

Belajar memutar ternyata sangat mudah, bukan? Semangat terus, karena sebentar lagi akan ada contoh soal Sobat.

Contoh Masalah Rotasi Matematika

Penasaran dengan contoh soalnya? mari simak baik-baik!

Contoh Soal 1

Perhatikan koordinat titik-titik berikut.

Jika titik S diputar 90 derajat^Hai dan searah jarum jam dengan titik pusat (0, 0). Tentukan koordinat akhir titik S!

Membasahi:

Berdasarkan gambar tersebut, titik S berada pada koordinat (-3, 4). Karena arah putaran searah jarum jam, maka sudutnya negatif. Dengan demikian, koordinat akhir titik S dapat dinyatakan sebagai:

Jadi, koordinat S’ (4, 3).

Jika digambarkan sebagai:

Contoh Soal 2

Titik G dan H saling terhubung satu sama lain dengan koordinat masing-masing titik ditunjukkan pada gambar berikut.

Jika kedua titik diputar 270^Hai berlawanan arah jarum jam dengan titik pusat (-1, 1), tentukan koordinat akhir titik G dan H beserta gambarnya!

Diskusi:

Dari gambar didapatkan:

• Koordinat titik G (4, 4)
• Koordinat titik H (2, 2)

Pertama, tentukan koordinat akhir dari kedua titik tersebut.

Titik G’

titik H’

Jadi, koordinat titik G’ (2, -4) dan titik H’ (0, -2).

Untuk gambar rotasi, Anda dapat melihat di bawah ini.

Contoh Soal 3

Titik C yang memiliki koordinat (4, -5) diputar sebesar -180^Hai ke titik pusat (0, 0). Tentukan koordinat bayangan titik C!

Diskusi:

Pertama, tentukan koordinat akhir titik C dengan persamaan berikut.

Koordinat akhir dapat diselesaikan dengan konsep matriks di bawah ini.

Jadi, bayangan koordinat titik C adalah (-4, 5)

Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bermanfaat, ya. Untuk mendapatkan materi lengkapnya, buruan gabung dengan Quipper Video. Salam Quippers!