Pahami Persamaan Garis Singgung Lingkaran dan Kurva

Hai Sobat, sejak SD pasti sudah tidak asing lagi dengan bentuk lingkaran kan? Biasanya Anda diminta untuk menentukan luas dan keliling lingkaran. Dalam diskusi ini, Anda masih akan bertemu dengan kalangan, Kamu tahu. Bedanya, Anda tidak lagi diminta untuk menentukan luas dan keliling. Namun, Anda diajak untuk mempelajari persamaan garis singgung (PGS) pada lingkaran. Sebenarnya bukan hanya lingkaran, tapi juga lekukan. Lalu, apa yang dimaksud dengan persamaan garis singgung lingkaran dan kurva? Yuk, lihat selengkapnya!

Definisi Persamaan Tangen

Persamaan garis singgung adalah persamaan garis yang menyinggung lingkaran di satu titik. Garis disebut garis singgung jika memiliki tepat satu titik potong atau perpotongan dengan lingkaran atau kurva. Lalu, apa perbedaan antara garis singgung lingkaran dan kurva? Perbedaannya terletak pada objek yang disinggung. Jika suatu garis bersinggungan dengan lingkaran, maka garis singgung tersebut disebut garis singgung lingkaran. Sebaliknya, jika yang disentuh berupa kurva, maka garis singgungnya disebut garis singgung kurva. Pertimbangkan sebuah contoh:

Dari gambar diatas sudah jelas kan perbedaannya?

Persamaan Tangen Lingkaran

Dengan garis singgung, dihasilkan titik yang disebut titik singgung. Titik singgung adalah titik potong antara garis singgung dan jari-jari lingkaran. Dari titik singgung tersebut dapat ditentukan persamaan garis singgungnya. Berdasarkan titik yang dilaluinya, persamaan garis singgung lingkaran dapat dicari dengan tiga cara, yaitu sebagai berikut.

Persamaan Garis Tangen Melalui Titik pada Lingkaran

Jika sebuah garis bersinggungan dengan lingkaran yang berpusat di (0,0) di titik A(x1, y1), maka persamaan umum garis singgung dapat dinyatakan sebagai berikut.

Dengan:

M = gradien garis singgung;

y₁ = koordinat perpotongan y; Dan

X₁ = koordinat titik potong sumbu x

Karena garis singgung lingkaran selalu tegak lurus dengan jari-jari lingkaran, hasil kali gradien garis singgung dan gradien jari-jari selalu (-1). Karena itu:

Jika gradien disubstitusi ke dalam persamaan umum untuk garis singgung lingkaran, kita mendapatkan:

Persamaan (1) adalah yang nantinya dapat Anda gunakan untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik A(X₁, y₁) dengan titik pusat (0, 0).

Untuk lebih jelasnya, lihat contoh di bawah ini.

Sebuah garis menyinggung lingkaran di titik A (3, 4). Jika persamaan lingkaran X² + y² = 25, tentukan persamaan garis singgungnya!

Diskusi:

Pertama, Anda harus memastikan titik singgung (3, 4) berada pada lingkaran. Untuk melakukannya, gantikan koordinat titik A(3, 4) ke dalam persamaan lingkaran X² + y² = 25. Jika hasilnya sama dengan 25, maka koordinatnya adalah titik kontak.

Setelah Anda memastikan kebenaran titik singgungnya, maka substitusikan koordinat titik A(3, 4) ke dalam persamaan garis singgung pada persamaan (1).

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah 3X +4y – 25 = 0. Bentuk garis singgung lingkaran adalah sebagai berikut.

Persamaan Tangen ke Gradien Diketahui

Jika sebuah garis adalah gradien M menyinggung lingkaran yang titik pusatnya adalah (0, 0), maka persamaan garis singgungnya dapat dinyatakan sebagai berikut.

Lalu, bagaimana jika titik pusat lingkaran berada di titik (a,b)? Jika titik pusatnya adalah (a,b), Anda dapat menggunakan persamaan di bawah ini.

Untuk lebih jelasnya lihat contoh.

Garis yang sejajar dengan garis y = 2X + 5 menyinggung lingkaran (X – 5)² + (y – 2)² = 20. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran!

Diskusi:

Dikenal:

A = 5

B = 2

R² = 20

Dicari: PGS =…?

Menjawab:

Pertama, tentukan terlebih dahulu gradien garisnya. Karena garis singgung lingkaran sejajar dengan garis y = 2X +5, lalu:

M_GS = 2

Untuk menentukan PGS, gunakan persamaan berikut.

Jadi, persamaan garis singgungnya ada dua, yaitu y = 2X +2 dan y = 2X – 18.

Persamaan Garis Tangen Melalui Titik di Luar Lingkaran

Jika suatu garis bersinggungan dengan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan melalui suatu titik P(X₁y₁) di luar lingkaran, maka persamaan garis singgung dapat dinyatakan dalam tiga cara. Anda dapat memilih salah satu dari tiga cara, yaitu sebagai berikut.

1. Persamaan garis singgung gradien diketahui.
   Persamaan pertama ini memiliki langkah yang sama dengan PGS sebelumnya yaitu terlebih dahulu menentukan gradien garis dan jari-jari lingkaran. Kemudian, substitusikan keduanya ke dalam persamaan garis singgung.

2. Menggunakan diskriminan dari persamaan kuadrat serumpun
   Untuk garis singgung lingkaran, diskriminan persamaan kuadrat adalah nol (D = 0). Anda mendapatkan persamaan kuadrat dengan mengganti variabel y persamaan garis ke persamaan lingkaran X² + y² =R².

3. Menggunakan persamaan polar.
   Berikut adalah ilustrasi garis singgung lingkaran dan melalui titik di luar lingkaran.

Untuk lebih memahaminya, mari kita lihat contoh berikut.

Garis singgung lingkaran X² + y² = 45. Jika garis tersebut melalui titik (7, 0) yang berada di luar lingkaran, tentukan persamaan garis singgungnya!

Diskusi:

Dari ketiga cara yang telah disebutkan, cara mana yang diinginkan oleh Sobat? Karena metode persamaan garis singgung dengan gradien diketahui sudah pernah dibahas sebelumnya, maka kali ini Blog Quipper akan menggunakan metode diskriminan persamaan kuadrat bersekutu.

Dikenal:

X1 = 7

y1 = 0

R = √45

Dicari: PGS =…?

Menjawab:

Pertama, tentukan nilai gradien garis menggunakan persamaan umum garis sebagai berikut.

Kemudian, substitusikan nilainya y di atas pada persamaan lingkaran X² + y² = 45.

Jika mengacu pada persamaan kuadrat kapak² + bx + c = 0, diperoleh:

A = (M² +1)

B = 14M²

C = 49M² – 45

Ingat, nilai diskriminan garis yang bersinggungan dengan lingkaran adalah nol, jadi:

Nilai pengganti M₁ Dan M₂ pada persamaan y = mx – 7M dan diperoleh:

persamaan baris pertama:

persamaan baris ke-2:

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut.

1. 
2. 

Persamaan Tangen Kurva

Persamaan garis singgung kurva adalah persamaan garis yang menyentuh kurva pada titik tertentu, yang disebut titik singgung. Sama seperti persamaan garis singgung lingkaran, pada garis singgung kurva Anda hanya akan menemukan satu titik persekutuan. Salah satu syarat untuk menentukan persamaan garis singgung kurva adalah gradien. Jika Anda mengetahui gradien garis, Anda dapat menemukan persamaan garis. FYI, gradien adalah turunan pertama dari fungsi kurva, ya.

Misalnya fungsi kurva F(X), maka gradiennya adalah f'(x). Perhatikan contoh berikut.

Jika dilihat dari titik yang dilalui, persamaan garis singgung kurva dibagi menjadi tiga, yaitu:

Persamaan Garis Tangen Melalui Titik (0,0)

Sebuah garis k yang menyentuh kurva F(X) dan melalui titik (0,0) persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut.

Dengan:

M_k = gradien garis k; Dan

y = persamaan garis singgung k.

Jika Anda mengetahui fungsi kurva, Anda dapat menentukan gradien garis k dari turunan pertama fungsi.

Persamaan Garis Tangen Melalui Titik (X₁, y₁)

Sebuah garis k yang menyentuh kurva F(X) di titik (X₁, y₁) memiliki persamaan garis singgung sebagai berikut.

Untuk lebih jelasnya lihat contoh.

Sebuah kurva memiliki persamaan F(X) = X² +3X – 18. Tentukan persamaan garis singgung kurva di titik (6, 2)!

Diskusi:

Dikenal:

X₁ = 6

y₁ = 2

F(X) = X² +3X – 18

diminta: y =…?

Menjawab:

Pertama, Anda harus menentukan gradien dengan mencari turunan pertama di (6, 2).

Kemudian, pengganti X = 6 ke persamaan gradien.

Terakhir, substitusi nilai M = 15 ke PGS.

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah 15X – y – 88 = 0.

Persamaan Garis Tangen Melalui Dua Titik

Berikut ilustrasi garis yang bersinggungan dengan kurva di dua titik, yaitu (X₁, y₁) Dan (X₂, y₂).

Persamaan garis singgung kurva melalui dua titik dapat dinyatakan sebagai:

Dengan:

X₁ = koordinat sumbu x dari titik kontak pertama;

X₂ = koordinat sumbu x titik kontak ke-2;

y₁ = koordinat y dari titik kontak pertama; Dan

y₂ = koordinat y dari titik kontak ke-2.

Contoh Soal Persamaan Lingkaran Tangen

Untuk mengasah pemahaman Anda, mari kita lihat contoh soal.

Contoh Soal 1

Garis yang sejajar dengan garis y = X + 3 menyentuh lingkaran yang memiliki persamaan (X – 1)² + (y – 5)² = 15. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran!

Diskusi:

Dikenal:

A = 1

B = 5

R² = 15

Dicari: PGS =…?

Menjawab:

Pertama, tentukan terlebih dahulu gradien garisnya. Karena garis singgung lingkaran sejajar dengan garis y = X + 3, lalu:

M_GS = 1

Untuk menentukan PGS, gunakan persamaan berikut.

Jadi, persamaan garis singgungnya ada dua, yaitu

Contoh Soal 2

Tentukan persamaan garis singgung kurva tersebut F(X) = 2X² – X + 4 yang melalui X = 1!

Diskusi:

Pertama, tentukan nilainya terlebih dahulu F(X) momen X = 1.

Artinya, garis bersinggungan dengan kurva di titik (1, 5).

Selanjutnya, tentukan gradien garis melalui fungsi turunan.

Terakhir, substitusikan ke persamaan garis.

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y = 3X +2.

Contoh Soal 3

Sebuah kurva memiliki persamaan F(X) = X² +2X – 6. Tentukan persamaan garis singgung kurva di titik (-1, 3)!

Diskusi:

Dikenal:

X₁ = -1

y₁ = 3

F(X) = X² +2X – 6

diminta: y =…?

Menjawab:

Pertama-tama, Anda harus menentukan gradien dengan mencari turunan pertama di titik (-1, 3).

Kemudian, pengganti X = -1 ke persamaan gradien.

Terakhir, substitusi nilai M = 1 ke PGS.

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah X – y + 7 = 0.

Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bermanfaat, ya. Untuk mendapatkan materi lengkapnya, buruan gabung dengan Quipper Video. Salam Quippers!