Table of contents:
Materi logaritma sangat erat kaitannya dengan materi eksponensial atau bilangan eksponensial. Logaritma adalah kebalikan dari materi dengan bilangan eksponensial, dimana materi eksponensial mencari hasil bilangan eksponensial, sedangkan logaritma mencari eksponen.
Definisi Logaritma
Materi logaritmik dikembangkan oleh seorang matematikawan Inggris, yaitu John Napier, yang menjelaskan metode logaritma dalam sebuah buku yang ditulis pada tahun 1614 berjudul Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio.
Logaritma diambil dari bahasa Latin Tengah, yaitu “logaritma” yang artinya perbandingan angka. Selain itu, logaritma juga diambil dari bahasa Yunani, yaitu logos dan aritmos. Logos berarti rasio dan proporsi sedangkan aritmos adalah angka.
Baca Juga:
Logaritma adalah kebalikan atau kebalikan dari eksponen. Cara penulisan logaritma adalah “log”. Definisi logaritma adalah ie Alog b = c jika dan hanya jika aC = b dimana nilai a dan b termasuk bilangan real dengan a > 0, a ≠ 1, b > 0 dan c adalah bilangan rasional.
Informasi:
a = basis dengan kondisi 0 < a < 1 or a > 1
b = numerus, asalkan b > 0
c = hasil logaritmik
Baca Juga:
Logaritma dalam Kehidupan Sehari-hari
Penggunaan logaritma sangat luas dalam kehidupan sehari-hari, salah satunya digunakan dalam rumus menghitung besaran bunyi dalam satuan desibel. Untuk menghitung skala suara, Alexander Graham Bell merumuskan persamaan D = 10 log I/Io, dimana D adalah skala desibel suara.
I adalah intensitas bunyi dalam Watt/meter² dan Io adalah intensitas bunyi terendah yang dapat didengar oleh telinga orang sehat, yaitu 1,0 x 10ˉ¹². Log simbol adalah notasi untuk logaritma yang memungkinkan seseorang menghitung intensitas suara pada rentang yang sangat besar.
Logaritma juga dapat digunakan dalam ilmu ekonomi untuk menghitung jumlah inflasi pada harga barang komoditas dengan kenaikan yang stabil.
Baca Juga:
Rumus Logaritmik
Alog b = c sama dengan aC = b, maka beberapa bilangan eksponensial di bawah ini dapat diubah menjadi logaritma sebagai berikut:
Ada beberapa catatan mengenai penulisan logaritma sebagai berikut:
- Jika logaritma memiliki basis e (e adalah bilangan Euler yaitu e ≈ 2,718) maka elog b ditulis sebagai ln b.
- Basis atau basis 10 bilangan tidak perlu dituliskan, begitu juga untuk bilangan 10log b ditulis log b saja.
Properti Logaritma
Logaritma memiliki beberapa sifat dasar yang diambil dari definisi logaritma yang merupakan kebalikan dari eksponen. Berikut adalah sifat-sifat logaritma:
Baca Juga:
- Jika a dan b adalah bilangan real, dimana a > 0 dan a ≠ 1, maka berlaku untuk:
Aloga = 1
Alog 1 = 0
Alog aN = n
- Pada persamaan logaritmik Alog(bxc) = Alog b+ Alog c, dengan syarat bilangan a, b dan c merupakan bilangan real positif, dimana nilai a ≠ 1 dengan nilai b > 0. Sifat ini dibuktikan dengan cara sebagai berikut:
Kemudian dikalikan dengan nilai b dan juga c, sehingga menghasilkan:
bxc = aH xaJ
bxc = ah + j
Alog(bxc) = h + j (Pengganti h dan j)
Alog(bxc) = Alog b+ Alog c
Baca Juga:
- Pada persamaan logaritmik berlaku Alog(c/d) = Alog c – Alog d, dengan ketentuan bilangan a, c dan d merupakan bilangan real positif, yang bernilai a ≠ 1 dengan nilai c > 0.
- Pada persamaan logaritmik berlaku Alog cN = n Alog c, dengan syarat bilangan a, c dan n merupakan bilangan asli, yang nilainya a > 0, c > 0, dan a ≠ 1
- Pada persamaan logaritmik berlaku Alog = Clog b/ Cloga = 1/Blog a, dengan syarat bilangan a, b dan c adalah bilangan real positif yang nilainya a, b dan c ≠ 1.
- Pada persamaan logaritmik berlaku a^mlog cN = n/m (Alog c), dengan syarat bilangan a dan c bilangan real positif, dimana nilai a ≠ 1, m dan n bilangan rasional dan m ≠ 0.
- Dalam persamaan logaritmik berlaku alog b = b, dengan syarat bilangan a dan b bilangan real positif, yang nilainya a ≠ 1.
- Pada persamaan logaritmik berlaku Alog(c/d) = – Alog (d/c)
Persamaan Logaritmik
Persamaan logaritmik adalah persamaan yang memiliki dua bentuk logaritma di sisi kiri dan kanan yang dipisahkan oleh tanda sama dengan “=” dengan variabel dalam bilangan atau basis. Berikut adalah contoh persamaan logaritmik:
ᵃlog h(x) = ᵃlog n
ᵃlog h(x) = ᵃlog g(x)
Baca Juga:
ᵃlog h(x) = Blog h(x)
h(x) log g(x) = h(x) log f(x)
h(x) log g(x) = f(x) log g(x)
Baca Juga:
A (ᵃlog h(x)) 2 + B (ᵃlog h(x)) + C = 0
Pertidaksamaan Logaritmik
Pertidaksamaan logaritmik adalah bentuk logaritma pada ruas kiri dan kanan yang memiliki nilai berbeda, misalnya lebih besar dari (>) dan lebih kecil dari (<).
ᵃlog h(x) < ᵃlog g(x), if a > 0 lalu h(x) < g(x)
Baca Juga:
ᵃlog h(x) > ᵃlog g(x), jika a > 0 maka h(x) > g(x)
Contoh Masalah Logaritmik
- Tentukan nilai persamaan logaritmik berikut:
A. ³log 729
B. ⁴log 256
Diskusi
Baca Juga:
Menjawab:
A. ³log 3⁶
= 6.³log 3
= 6.1
= 6
Baca Juga:
B. ⁴log 256
= ⁴log 4⁴
= 4.⁴log 4
= 4×1
= 4
- Temukan nilai y dari persamaan berikut: log² y + log y = 6, dengan log² y adalah notasi untuk (log y)².
Diskusi
Baca Juga:
Menjawab:
Misalkan variabel g = log y
log²y + logika = 6
(log y)² + log y = 6
g² + g – 6 = 0
(g + 3) (g – 2) = 0
Sehingga nilai g = 2 atau g = -3, karena nilai g = log y maka berlaku :
Baca Juga:
log y = 2 atau log y = -3
y = 10² atau y = 10ˉ³
- Tentukan nilai x dari log 1000.000 = x
Diskusi
Menjawab:
Baca Juga:
log 1000.000 = x
log 10⁶ = x
6. log 10 = x
x = 6
Kesimpulan
Karena sifat materi logaritma adalah kebalikan dari materi bilangan eksponensial atau eksponensial, maka untuk dapat menguasai logaritma juga harus menguasai materi eksponensial. Logaritma adalah cabang dalam Matematika yang digunakan untuk mencari besaran pangkat bilangan tertentu.
mejakelas.com
Baca Juga:
