Hai Sobat, ketika kamu mempelajari peluang, kamu pasti akan belajar tentang berbagai kemungkinan dari suatu peristiwa, bukan? Anda dapat menghitung probabilitas kejadian tersebut menggunakan rumus probabilitas. Ternyata tidak semua nilai peluang bisa ditentukan dengan mudah dari rumus saja. Contohnya adalah probabilitas variabel acak kontinu dalam distribusi normal. Untuk menentukan probabilitas variabel ini, Anda harus menggunakan tabel dan kurva, Kamu tahu. Lalu, apa yang dimaksud dengan distribusi normal? Yuk, lihat selengkapnya!
Definisi Distribusi Normal
Distribusi normal merupakan salah satu bentuk distribusi probabilitas (menyebar) yang pendekatannya menggunakan kurva normal. Mengapa menggunakan kurva normal? Karena jenis variabelnya kontinyu, maka tidak lagi diskrit seperti pada pembahasan kesempatan sebelumnya. Apa sebenarnya variabel acak kontinu itu? Variabel kontinu adalah variabel yang nilainya tidak terbatas dan merupakan bilangan real. Ini sebuah contoh.
- Variabel diskrit: 50 anak berpartisipasi dalam Olimpiade.
- Variabel kontinu: luas bentuk di bawah kurva awal X = 0 sampai X = 2,5.
Hanya variabel acak kontinu inilah yang dapat diselesaikan dengan distribusi probabilitas kontinu, salah satunya adalah distribusi normal. SekarangSuatu data dikatakan memenuhi distribusi normal jika :
Baca Juga:
Kurva Distribusi Normal
Kurva untuk distribusi normal disebut kurva Gaussian atau kurva lonceng. Itu karena bentuknya yang menyerupai lonceng, seperti berikut ini.
Karena kurva normal, dapat dilihat bahwa data berpusat pada rata-rata (μ). Sifat-sifat yang berlaku pada kurva distribusi normal di atas adalah sebagai berikut.
- Bentuk kurva menyerupai lonceng dan simetris terhadap garis vertikal yang memotong sumbu x menjadi dua bagian yang sama persis.
- Nilai rata-rata, median, dan modus berada pada titik yang hampir sama, sehingga berhimpitan.
- Kurva tidak pernah berada di bawah sumbu x. Ini berarti bahwa f(x) > 0.
- Fungsi probabilitas tertinggi adalah di X = μ.
- Kurvanya adalah asimtot sumbu x datar. Artinya, kurva tidak pernah menyentuh sumbu x jika diperpanjang.
- Luas bangun di bawah kurva (di atas sumbu x) memiliki nilai maksimum 1. Hal itu karena luas bangun menunjukkan nilai probabilitas. Jika dibagi tepat di tengah sehingga memotong sumbu x secara merata, maka peluang setiap bagian adalah 0,5.
Nah, probabilitas suatu kejadian diperoleh dengan mencari luas daerah di bawah kurva dengan batas yang telah ditentukan, misalnya 0 X <0,65.
Baca Juga:
Rumus Distribusi Normal
Rumus distribusi normal dibagi menjadi dua yaitu rumus distribusi normal umum dan distribusi normal baku. Lalu, apa perbedaan dari kedua formula tersebut?
Rumus Distribusi Normal Umum
Ketika Anda melihat rumus distribusi normal umum, jangan repot-repot dulu, Sobat. Rumus ini menjadi dasar yang digunakan para ilmuwan untuk menyusun tabel distribusi normal yang akan Anda pelajari pada sesi berikut. Formula yang dimaksud adalah:
Dengan:
Baca Juga:
F(x) = fungsi kontinu atau fungsi kerapatan probabilitas;
σ = standar deviasi (standar deviasi);
μ = nilai rata-rata;
Baca Juga:
π = 3,14; Dan
e = Bilangan Euler yang nilainya 2,72.
Tenang, Sobat tidak harus menggunakan rumus di atas untuk menentukan nilai odds. Ingat, rumus integral tidak mudah diselesaikan secara langsung dengan teknik integral biasa. Lalu, apa solusinya?
Baca Juga:
Rumus Distribusi Normal Standar
Solusi penyelesaian rumus distribusi normal umum adalah dengan mengubah rumus tersebut menjadi rumus distribusi normal baku (baku). Dalam rumus distribusi normal baku, nilai rata-rata variabel acak diasumsikan nol (μ = 0) dengan standar deviasi satu (σ = 1). Kondisi, variabel acak X harus diubah menjadi Z melalui transformasi berikut.
Dengan:
Z = variabel normal standar (standar);
Baca Juga:
X = nilai variabel acak;
σ = standar deviasi (standar deviasi); Dan
μ = nilai rata-rata.
Baca Juga:
Dengan mengganti μ = 0 dengan simpangan baku sama dengan satu (σ = 1), rumus distribusi normal baku N(0, 1) diperoleh sebagai berikut.
Untuk lebih jelasnya, lihat contoh berikut.
Nilai rata-rata tes sekelompok siswa adalah 75 dengan standar deviasi 12. Jika data diasumsikan berdistribusi normal, tentukan peluang terpilihnya siswa dengan skor kurang dari 83!
Baca Juga:
Diskusi:
Dikenal:
μ = 75
Baca Juga:
σ = 12
X = 83
diminta: Z =…?
Baca Juga:
Menjawab:
Pertama, tentukan variabel normal baku dengan rumus berikut.
Karena yang ditanyakan adalah untuk siswa dengan nilai kurang dari 83, maka dapat dinyatakan P(Z <0,67). Jika digambarkan dalam bentuk kurva, maka menjadi:
Baca Juga:
Setelah mendapatkan nilai Zdapat disubstitusikan ke dalam persamaan berikut.
Lalu, apakah Anda akan menggunakan persamaan di atas untuk menyelesaikan nilai fungsi kerapatan probabilitas? Bisa saja, tapi butuh waktu yang cukup lama, ya. Oleh karena itu, untuk menentukan nilai fungsinya, Anda dapat merujuk pada tabel distribusi normal di bawah ini.
Lagi pula, tabel di atas adalah nilai peluang antara nol di sebelah kanan skor Z (pada kurva distribusi normal), ya.
Baca Juga:
Bagaimana cara membaca tabel?
Dari hasil perhitungan didapatkan nilai Z <0,67, kan? Jadi, nilai 0,67 dapat dipecah menjadi 0,6 + 0,07. Coba cari kolom Z-score dengan nilai 0,6 dan baris Z-score dengan nilai 0,07. Ingat, kolom bersifat vertikal dan baris bersifat horizontal (horizontal). Sel pertemuan antara 0,6 dan 0,07 adalah hasilnya.
Hasilnya ditunjukkan oleh highlight oranye, ya.
Baca Juga:
Jadi, peluang terpilihnya siswa dengan nilai kurang dari 83 adalah 0,2486.
Dengan tabel distribusi normal, Anda tidak perlu repot mencari nilai peluang dengan teknik integral.
Sampai di sini, apakah Anda mengerti?
Baca Juga:
Contoh soal
Soal matematika tanpa contoh ibarat jalan tanpa peta, karena pasti membingungkan. Agar tidak bingung, mari kita lihat dua contoh soal berikut ini.
Contoh Soal 1
Pendapatan rata-rata penduduk Desa Sukamaju adalah Rp50.000/hari dengan standar deviasi Rp19.000. Jika peubah acak diambil dari satu orang penduduk desa tersebut, berapa peluang seorang penduduk yang berpenghasilan lebih dari Rp. 75.000 ditemukan?
Diskusi:
Baca Juga:
Dikenal:
µ = Rp 50.000
σ = Rp 19.000
Baca Juga:
X = 75.000
diminta: Z =…?
Menjawab:
Baca Juga:
Pertama, tentukan variabel normal baku dengan rumus berikut.
Karena itu, Z >1.31.
Kemudian, jelaskan nilai-nilainya Z berada pada kurva Gaussian distribusi normal.
Baca Juga:
Dari kurva di atas, diperoleh:
Nilai 0 Z < 1,31 pada tabel adalah 0,4049.
P (Z > 1,31) = 0,5 – (0Z <1,31)
Baca Juga:
= 0,5 – 0,4049
= 0,0951
Jadi, kemungkinan menemukan penduduk dengan pendapatan di atas Rp. 75.000 adalah 0,0951.
Baca Juga:
Contoh Soal 2
Sebuah perusahaan pengolah ikan menghasilkan produksi rata-rata 20 ton kerupuk ikan per hari dengan standar deviasi 4 ton. Jika dipilih secara acak, tentukan peluang menghasilkan kurang dari 15 ton kerupuk per hari.
Diskusi:
Dikenal:
Baca Juga:
μ = 20
σ = 4
X = 15
Baca Juga:
diminta: Z =…?
Menjawab:
Pertama, tentukan variabel normal baku dengan rumus berikut.
Baca Juga:
Karena yang diminta adalah produksi kurang dari 15 ton per hari, lalu Z <-1,25.
Jika digambarkan pada kurva, menjadi:
Untuk menentukan probabilitas, tentukan P(-1.25 Z < 0). Ingat nilai probabilitas P(0 Z < 1,25) = P(-1,25 < Z < 0). Artinya, tanda minus tidak mempengaruhi nilai pada tabel. Dengan demikian, diperoleh nilai P(0 < Z < 1,25) sebagai berikut.
Baca Juga:
Ingat, P(0 Z < 1,25) = P(-1,25 < Z < 0) = 0,3944. Karena itu:
P(Z < -1,25) = 0,5 – (-1,25 < Z < 0)
= 0,5 – (0,3944)
Baca Juga:
= 0,1056
Jadi, peluang menghasilkan kurang dari 15 ton kerupuk per hari adalah 0,1056.
Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bermanfaat, ya. Untuk mendapatkan materi lengkapnya, buruan gabung dengan Quipper Video. Salam Quippers!
Baca Juga:
www.quipper.com
