Pengertian Turunan: Macam, Rumus, & Contoh Soal

Dalam kalkulus, ada beberapa macam turunan yang dapat dihitung. Beberapa turunan tersebut antara lain:

A. Derivasi Fungsi Biasa

Turunan fungsi biasa adalah turunan dari fungsi matematika umum, seperti polinomial, trigonometri, eksponensial, dan logaritmik.

B. Turunan Fungsi Implisit

Turunan implisit suatu fungsi adalah turunan dari suatu fungsi yang secara implisit dinyatakan dalam bentuk persamaan, misalnya x^2 + y^2 = 25.

C. Derivatif Parsial

Turunan parsial merupakan turunan dari fungsi multivariabel, dimana hanya satu variabel yang diturunkan, sedangkan variabel lainnya diasumsikan tetap.

Baca Juga:

Siswa Sekolah Akan Aktif Kembali Mulai Tanggal 9 April, Guru dan Seluruh Jajaran nya Di minta Mempersiapkan Diri

D. Penurunan Arah

Turunan berarah adalah turunan dari fungsi vektor, dimana turunannya dinyatakan sebagai vektor dengan arah tertentu.

Rumus turunan adalah aturan yang digunakan untuk menghitung turunan dari berbagai fungsi. Beberapa rumus turunan penting dalam kalkulus meliputi:

A. Aturan Derivatif Fungsi Biasa

Aturan turunan fungsi yang biasa adalah sebagai berikut:

• Turunan konstanta adalah nol: d/dx(c) = 0
• Turunan dari x^n adalah nx^(n-1): d/dx(x^n) = nx^(n-1)
• Turunan dari sin(x) adalah cos(x): d/dx(sin(x)) = cos(x)
• Turunan dari cos(x) adalah -sin(x): d/dx(cos(x)) = -sin(x)
• Turunan dari e^x adalah e^x: d/dx(e^x) = e^x
• Turunan dari ln(x) adalah 1/x: d/dx(ln(x)) = 1/x

B. Aturan Derivatif Fungsi Implisit

Aturan turunan fungsi implisit adalah sebagai berikut:

Baca Juga:

Ini Contoh Tes Psikologi Yang di Lakukan Secara Tatap Muka Antara HRD dan Pelamar

• Turunan y terhadap x dari persamaan f(x,y) = 0 adalah -f_x(x,y)/f_y(x,y), di mana f_x dan f_y adalah turunan parsial dari fungsi f terhadap x dan y masing-masing.

C. Aturan Derivatif Parsial

Aturan turunan parsial adalah sebagai berikut:

• Untuk menghitung turunan parsial f terhadap x, variabel y diasumsikan tetap dan turunannya dihitung seperti turunan biasa.
• Untuk menghitung turunan parsial f terhadap y, variabel x diasumsikan tetap dan turunannya dihitung seperti turunan biasa.

D. Aturan Derivatif Terdampar

Aturan untuk turunan terarah adalah sebagai berikut:

• Turunan terarah dari fungsi vektor f = (f1, f2, f3) terhadap variabel x adalah vektor dengan komponen turunan parsial dari fungsi tersebut terhadap variabel x.

Dengan memahami aturan turunan tersebut, kita dapat menghitung turunan dari berbagai fungsi dengan lebih mudah dan cepat. Derivatif sangat berguna dalam memecahkan masalah matematika yang melibatkan perubahan dan pertumbuhan, dan karenanya menjadi landasan penting dalam banyak bidang sains dan teknologi.

Salah satu konsep penting dalam kalkulus adalah integral, yang merupakan kebalikan dari turunan. Integral digunakan untuk menghitung luas di bawah kurva suatu fungsi. Dengan kata lain, integral adalah operasi yang digunakan untuk membalikkan efek turunan. Integral juga sering digunakan dalam kalkulus untuk menyelesaikan berbagai masalah matematika, seperti mencari luas permukaan suatu benda, menghitung volume suatu benda, atau menentukan kemiringan suatu kurva.

Baca Juga:

CPNS di Instansi Pendidikan Lebih Menguntungkan, Cek formasi dan Jabatan dengan Gaji Paling tinggi

Dalam kalkulus, ada dua jenis integral, yaitu integral tertentu dan integral tak tentu. Integral tak tentu (atau antiturunan) adalah kebalikan dari turunan, dan ditulis sebagai ∫f(x)dx. Integral tak tentu dapat dihitung dengan menggunakan aturan integral, yang merupakan kebalikan dari aturan turunan. Sedangkan integral tertentu adalah integral yang memiliki batas atas dan bawah tertentu, dan ditulis ∫a^bf(x)dx. Integral tertentu dapat dihitung dengan menggunakan aturan integral, seperti aturan substitusi atau aturan perbandingan.

Ada beberapa aturan turunan penting dalam kalkulus, antara lain aturan turunan fungsi komposit, aturan turunan fungsi invers, aturan turunan fungsi eksponensial, aturan turunan fungsi logaritma, dan aturan turunan fungsi logaritma. diferensiasi fungsi trigonometri. Aturan turunan ini sangat berguna dalam menyelesaikan soal matematika yang melibatkan turunan.

Aturan untuk turunan fungsi komposit digunakan saat Anda ingin menghitung turunan fungsi yang terdiri dari fungsi lain. Aturan turunan fungsi invers digunakan untuk menghitung turunan fungsi invers. Aturan turunan fungsi eksponensial dan logaritmik digunakan untuk menghitung turunan fungsi eksponensial dan logaritmik. Sedangkan aturan turunan fungsi trigonometri digunakan untuk menghitung turunan fungsi trigonometri.

Aturan turunan adalah sekumpulan rumus yang digunakan untuk menghitung turunan dari berbagai fungsi. Beberapa aturan turunan yang paling mendasar adalah sebagai berikut:

Baca Juga:

Contoh Perubahan Lingkungan beserta Dampaknya pada Makhluk Hidup

1. Aturan untuk turunan konstanta
   Turunan dari konstanta adalah nol. Jika f(x) = c, maka f'(x) = 0.
2. Aturan turunan dari x^n
   Turunan dari x^n adalah nx^(n-1). Jika f(x) = x^n, maka f'(x) = nx^(n-1).
3. Aturan untuk turunan dari fungsi eksponensial
   Turunan dari fungsi eksponensial e^x adalah e^x. Jika f(x) = e^x, maka f'(x) = e^x.
4. Aturan untuk turunan dari fungsi logaritmik
   Turunan dari fungsi logaritmik ln(x) adalah 1/x. Jika f(x) = ln(x), maka f'(x) = 1/x.
5. Aturan turunan fungsi trigonometri
   Turunan dari fungsi sin(x) adalah cos(x), turunan dari cos(x) adalah -sin(x), dan turunan dari tan(x) adalah sec^2(x).

Derivatif memiliki banyak aplikasi dalam kehidupan sehari-hari, terutama dalam sains dan teknologi. Beberapa contoh penerapan turunan dalam kehidupan sehari-hari antara lain:

A. Fisika

Dalam fisika, turunan digunakan untuk menghitung percepatan, kecepatan, dan posisi benda yang bergerak. Misalnya, turunan posisi terhadap waktu adalah kecepatan, sedangkan turunan kecepatan terhadap waktu adalah percepatan. Turunan juga dapat digunakan untuk menghitung gaya dan momentum.

B. Ekonomi

Dalam ilmu ekonomi, turunan digunakan untuk memodelkan perilaku konsumen dan produsen, dan untuk mengoptimalkan keuntungan. Misalnya, derivatif dapat digunakan untuk menghitung elastisitas permintaan, yaitu seberapa besar persentase perubahan permintaan sesuai dengan persentase perubahan harga.

C. Teknik

Di bidang teknik, turunan digunakan untuk merancang struktur bangunan, jembatan, dan mesin. Misalnya, turunan dapat digunakan untuk menghitung momen inersia suatu benda, yang merupakan ukuran seberapa sulit suatu benda mengubah geraknya.

Baca Juga:

Contoh Perubahan Lingkungan beserta Dampaknya pada Makhluk Hidup

D. Biologi

Dalam biologi, turunan digunakan untuk memodelkan pertumbuhan populasi dan dinamika populasi. Misalnya, turunan dapat digunakan untuk menghitung tingkat pertumbuhan populasi suatu spesies, dan untuk memprediksi bagaimana populasi suatu spesies akan berubah dari waktu ke waktu.

Dengan demikian, penerapan turunan dalam kehidupan sehari-hari sangat luas dan penting. Dalam banyak kasus, derivatif digunakan untuk mengoptimalkan keuntungan dan meningkatkan efisiensi di berbagai bidang, sehingga memungkinkan kami mencapai hasil yang lebih baik dan lebih efektif.

Fungsi eksponensial dan logaritmik adalah dua jenis fungsi yang sangat penting dalam matematika dan memiliki banyak aplikasi di berbagai bidang. Kalkulus memudahkan kita menghitung turunan fungsi eksponensial dan logaritma.

A. Turunan dari Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponensial memiliki bentuk umum y = a^x, dengan a adalah bilangan positif yang disebut basis eksponensial. Turunan dari fungsi eksponensial adalah:

Baca Juga:

Contoh Perubahan Lingkungan beserta Dampaknya pada Makhluk Hidup

dy/dx = a^x * ln(a)

di mana ln(a) adalah logaritma natural dari basis eksponensial a. Aturan turunan ini sangat berguna dalam menyelesaikan masalah yang melibatkan fungsi eksponensial, seperti menghitung laju pertumbuhan populasi atau pertumbuhan bakteri.

B. Turunan Fungsi Logaritmik

Fungsi logaritma memiliki bentuk umum y = log(x), dimana a adalah bilangan positif yang disebut basis logaritmik. Turunan dari fungsi logaritmik adalah:

dy/dx = 1 / (x * ln(a))

Baca Juga:

Contoh Perubahan Lingkungan beserta Dampaknya pada Makhluk Hidup

Aturan turunan ini sangat berguna dalam memecahkan masalah yang melibatkan fungsi logaritmik, seperti menghitung waktu paruh dalam fisika nuklir atau menghitung suku bunga dalam bidang keuangan.

Fungsi komposit adalah fungsi yang terdiri dari beberapa fungsi lain yang digabungkan. Misalnya, jika f(x) = sin(x^2), maka f(x) adalah fungsi gabungan dari fungsi sin dan fungsi kuadrat. Kalkulus memungkinkan kita menghitung turunan fungsi komposit menggunakan aturan turunan fungsi komposit.

Aturan untuk turunan fungsi komposit adalah sebagai berikut:

Jika f(x) dan g(x) adalah dua fungsi turunan, maka turunan dari f(g(x)) adalah:

Baca Juga:

Seleksi Kompetensi PPPK Tenaga Teknis Dimulai 17 Maret 2023

d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) * g'(x)

Aturan ini dapat digunakan untuk menghitung turunan dari fungsi yang terdiri dari gabungan fungsi lainnya. Misalnya, jika f(x) = sin(x^2), maka kita dapat menggunakan aturan ini untuk mencari turunan dari f(x):

f'(x) = cos(x^2) * 2x

Dengan menggunakan aturan turunan fungsi majemuk, kita dapat menyelesaikan soal matematika yang melibatkan fungsi majemuk dengan lebih mudah dan cepat.

Baca Juga:

Seleksi Kompetensi PPPK Tenaga Teknis Dimulai 17 Maret 2023

Demikian penjelasan tentang turunan fungsi eksponensial dan logaritmik, serta turunan fungsi komposit pada kalkulus. Dengan memahami konsep tersebut, kita dapat menghitung turunan berbagai fungsi dengan lebih mudah dan cepat, serta menyelesaikan soal matematika yang melibatkan turunan.