Turunan Fungsi Aljabar: Pengertian, Rumus dan Sifat-sifatnya!

kalau mendengar istilah demotion pasti terpikir untuk memindahkan posisi seseorang ke level yang lebih rendah kan? Apa jadinya jika terjadi penurunan pangkat di dunia Matematika? Tenang, di dunia Matematika Tidak ada posisi tertentu bagaimana bisa. Demosi dalam dunia matematika biasanya terjadi pada fungsi aljabar, sehingga dikenal istilah turunan dari fungsi aljabar. Lalu, apa itu turunan fungsi aljabar dan bagaimana cara menghitung turunan fungsi aljabar? Yuk, lihat selengkapnya!

Definisi Turunan Fungsi Aljabar

Turunan dari fungsi aljabar adalah fungsi baru yang dihasilkan dari penurunan fungsi sebelumnya sesuai dengan aturan yang telah ditentukan. Jika diimplementasikan dalam grafik suatu fungsi, turunan ini merupakan gradien garis singgung grafik pada titik tertentu. Tingkat turunan fungsi tidak terbatas pada satu tingkat, tetapi bisa juga dua tingkat, tiga tingkat, dan seterusnya. Konsep turunan tiap level juga sama. Hanya saja fungsi turunannya berbeda karena mengacu pada hasil turunan sebelumnya.

Konsep Fungsi Aljabar Derivatif

Pada dasarnya turunan fungsi aljabar merupakan bentuk lain dari fungsi limit yang nilainya mendekati nol. Misalnya seseorang mengendarai sepeda motor dengan kecepatan 60 km/jam. Saat mengemudi, dapatkah orang tersebut mengkondisikan dirinya untuk tetap pada kecepatan tersebut? Tentu tidak, bukan? Lalu, apa artinya 60 km/jam? Kecepatan ini adalah kecepatan rata-rata. Secara matematis, diformulasikan sebagai berikut.

Ingat, posisi orang tersebut (s) selalu berubah dari waktu ke waktu (t). Artinya, posisi dapat dinyatakan sebagai fungsi waktu (s₂ = f(t) ). Sekarang, t₂ adalah waktu setelah bergerak selama h atau t₂ = t₁ + h. Jika disubstitusikan ke dalam persamaan kecepatan rata-rata menjadi:

untuk nilai h sangat kecil, h dapat dinyatakan mendekati nol (h → 0). Apa artinya? Jika nilai h mendekati nol, fungsi kecepatan sesaat akan berlaku sebagai berikut.

Persamaan di atas merupakan bentuk laju perubahan jarak terhadap waktu atau turunan dari fungsi jarak terhadap waktu.

Jika diterapkan pada apa saja f(x), tingkat perubahan akan berlaku f(x) ke x atau turunan pertama f(x) ke x (f'(x)), sehingga persamaannya menjadi:

Rumus untuk Fungsi Aljabar Derivatif

Persamaan turunan yang mengandung fungsi limit efektif digunakan untuk persamaan fungsi linier atau pangkat 1. Namun, rumus ini kurang efektif bila digunakan untuk persamaan fungsi aljabar yang derajat polinomialnya lebih besar dari 1 (pangkat lebih dari 1). Untuk itu, Anda bisa menggunakan rumus berikut.

1. f(x) = b → f'(x) = 0

Konstanta akan menjadi nol jika diturunkan, misalnya f(x) = 15 → f'(x) = 0.

2. f(x) = bx → f'(x) = b

Jika variabel x diturunkan terhadap xakan mengembalikan 1. Contoh:

• f(x) = x → f'(x) = 1
• f(x) = 2x → f'(x) = 2
• f(x) = 5x – 3 →f'(x) = 5

3. f(x) = kapakⁿ → f'(x) = nax^n-1

Rumus di atas berlaku untuk turunan fungsi eksponensial ya. Saat menurunkan suatu fungsi, berarti Anda mencari turunan dari fungsi tersebut atau eksponennya menjadi lebih kecil. Misalnya, jika variabel x² diturunkan terhadap xmaka derajat variabel akan berkurang sebesar 1 sampai x. Jika variabel x³ diturunkan terhadap xmaka derajat variabel akan berkurang sebesar 1 sampai x² dll Perhatikan contoh berikut.

f(x) = 6x⁴ +2x³ → f'(x) = (4)(6)x³ + (3)(2)x²

= 24x³ + 6x²

Turunan suatu fungsi aljabar juga dapat dinyatakan dalam bentuk notasi Leibniz sebagai berikut.

Bagaimana Quipperian, mudah bukan turunan dari fungsi aljabar itu?

Sifat-sifat Fungsi Aljabar Derivatif

Turunan suatu fungsi aljabar memiliki sifat-sifat tertentu yang nantinya dapat memudahkan kamu dalam menyelesaikan soal. Berikut adalah sifat-sifat turunan dari fungsi aljabar.

1. 

Sifat-sifat di atas berlaku untuk penjumlahan atau pengurangan dua fungsi atau lebih. Perhatikan contoh berikut.

2. 

Sifat-sifat di atas berlaku untuk turunan hasil kali fungsi, misalnya pada perkalian antar fungsi kamu(x) dan ay(x). Perhatikan contoh berikut.

3. 

Sifat-sifat di atas berlaku untuk turunan fungsi pembagian, misalnya pembagian antar fungsi kamu(x) dan ay(x). Perhatikan contoh berikut.

4. 

Perhatikan contoh berikut.

5. 

Sifat-sifat di atas merupakan aturan rantai turunan fungsi aljabar. Selain menurunkan fungsi yang dinaikkan menjadi daya, Anda juga harus menurunkan fungsi secara keseluruhan.

Contoh Fungsi Aljabar Derivatif

Contoh turunan fungsi aljabar adalah sebagai berikut.

Temukan turunan dari fungsi aljabar akar berikut.

Diskusi:

Dalam soal di atas berlaku aturan rantai turunan fungsi aljabar. Apa yang dimaksud dengan aturan rantai turunan?

Pertama, Anda harus mengasumsikan 2x³ – 4x sebagai kamu(x). Dengan demikian, persamaannya menjadi:

Selanjutnya, tentukan turunannya menggunakan sifat nomor 5.

Setelah mencari turunannya kamuAnda harus menemukan turunannya f(x).

Aplikasi Fungsi Aljabar Derivatif

Turunan suatu fungsi aljabar biasanya diterapkan pada beberapa soal matematika seperti gradien garis singgung kurva sebagai berikut.

Dari grafik di atas, Anda akan menemukan garis potong dan garis normal. Garis potong adalah garis yang memotong grafik pada dua titik. Persamaan gradien garis singgung dapat dinyatakan sebagai berikut.

Dari gambar di atas, x₂ = x₁ + hdengan y = f(x), jadi kita dapatkan:

Saat A mendekati B, nilai h akan semakin kecil. Jika nilai h mendekati nol, artinya garis k akan menjadi garis singgung l dengan gradien m₁ di titik A (x₁, y₁). Oleh karena itu, diperoleh persamaan:

Jadi, gradien adalah turunan pertama dari fungsi kurva atau grafik.

Jika nilai gradien diketahui, Anda dapat menentukan persamaan garis singgung dengan rumus berikut.

Masalah Derivatif Aljabar

Untuk mengasah kemampuan Anda tentang materi ini, mari kita lihat contoh soal berikut.

Contoh soal 1

Tentukan persamaan garis singgung kurva tersebut y = x² – 4x – 5 pada absis 1!

Diskusi:

Pertama, Anda harus mencari titik ordinat dengan mensubstitusikan x = 1 ke persamaan kurva.

y = x² – 4x – 5

f(x) = x² – 4x – 5

f(1) = 1² – 4(1) – 5

f(2) = -8

Dari perhitungan diatas diperoleh koordinat titik kontak yaitu (1, -8).

Selanjutnya, tentukan gradien garis singgung.

Dengan demikian, persamaan garis dapat dinyatakan sebagai berikut.

y – y₁ = m (x – x₁)

↔ y –(-8) = -2(x – 1)

↔ y = -2x – 6

Jadi, persamaan garis menyinggung kurva y = x² – 4x – 5 dalam absis dari 1 adalah y = -2x – 6.

Contoh soal 2

Sebuah bola ditendang dengan sudut elevasi tertentu sehingga mengalami gerak parabola. Persamaan gerak bola dinyatakan sebagai h(t) = 4t – 2t². Berapa tinggi maksimum bola?

Diskusi:

Besaran yang dicari dalam soal adalah tinggi maksimum. Artinya, kecepatan di titik tertinggi adalah nol. Sedangkan persamaan yang tertera pada soal adalah persamaan jalur. Jadi, Anda harus menentukan turunan pertama dari persamaan jalur.

Kemudian, substitusikan nilainya t = 1 s ke persamaan jalur.

h(t) = 4t – 2t²

h(1) = 4(1) – 2(1)²

h(1) = 2m

Jadi, tinggi maksimum bola tersebut adalah 2 m.

Contoh soal 3

Satu unit UMKM pengolahan makanan ringan mampu berproduksi x unit makanan dengan biaya (2x² – 4x +10) dalam ribuan rupiah untuk setiap unit. Jika jajanan tersebut habis dengan harga jual Rp 10.000 per unit, berapa keuntungan maksimal per unit yang didapatkan UMKM tersebut?

Diskusi:

Dikenal:

Banyak makanan = x unit

Biaya produksi per unit = 2x² – 4x + 10 dalam ribuan

Harga jual per unit = 10 (ribuan)

Pada awalnya, misalkan laba perusahaan sebagai g(x).

g(x) = untung = harga jual – biaya produksi, jadi:

g(x) = 10x – (2x² – 4x +10)x

= 10x – 2x³ +4x² – 10x

= – 2x³ +4x²

Keuntungan maksimum diperoleh jika g'(x) = 0. Jadi:

g(x) = – 2x³ +4x²

g'(x) = -6x² +8x

0 = -6x² +8x

-6x² +8x = 0

3x² – 4x = 0

x(3x – 4) = 0

x = 0 atau x = 4/3

skor x yang memenuhi = 4/3.

Kemudian, substitusikan nilainya x = 4/3 ke persamaan g(x).

g(4/3) = – 2(4/3)³ + 4(4/3)²

= -4,74 + 7,11

= 2,37

Jadi, keuntungan maksimal yang diperoleh UMKM ini adalah Rp 2.370 per unit.

Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bermanfaat, ya. Untuk melihat materi lengkapnya, buruan gabung dengan Quipper Video. Salam Quippers!