kalau mendengar istilah demotion pasti terpikir untuk memindahkan posisi seseorang ke level yang lebih rendah kan? Apa jadinya jika terjadi penurunan pangkat di dunia Matematika? Tenang, di dunia Matematika Tidak ada posisi tertentu bagaimana bisa. Demosi dalam dunia matematika biasanya terjadi pada fungsi aljabar, sehingga dikenal istilah turunan dari fungsi aljabar. Lalu, apa itu turunan fungsi aljabar dan bagaimana cara menghitung turunan fungsi aljabar? Yuk, lihat selengkapnya!

Definisi Turunan Fungsi Aljabar

Turunan dari fungsi aljabar adalah fungsi baru yang dihasilkan dari penurunan fungsi sebelumnya sesuai dengan aturan yang telah ditentukan. Jika diimplementasikan dalam grafik suatu fungsi, turunan ini merupakan gradien garis singgung grafik pada titik tertentu. Tingkat turunan fungsi tidak terbatas pada satu tingkat, tetapi bisa juga dua tingkat, tiga tingkat, dan seterusnya. Konsep turunan tiap level juga sama. Hanya saja fungsi turunannya berbeda karena mengacu pada hasil turunan sebelumnya.

Konsep Fungsi Aljabar Derivatif

Pada dasarnya turunan fungsi aljabar merupakan bentuk lain dari fungsi limit yang nilainya mendekati nol. Misalnya seseorang mengendarai sepeda motor dengan kecepatan 60 km/jam. Saat mengemudi, dapatkah orang tersebut mengkondisikan dirinya untuk tetap pada kecepatan tersebut? Tentu tidak, bukan? Lalu, apa artinya 60 km/jam? Kecepatan ini adalah kecepatan rata-rata. Secara matematis, diformulasikan sebagai berikut.

Turunan Fungsi Aljabar Pengertian Rumus dan Sifat sifatnya

Ingat, posisi orang tersebut (s) selalu berubah dari waktu ke waktu (t). Artinya, posisi dapat dinyatakan sebagai fungsi waktu (s2 = f(t) ). Sekarang, t2 adalah waktu setelah bergerak selama h atau t2 = t1 + h. Jika disubstitusikan ke dalam persamaan kecepatan rata-rata menjadi:

1669601287 280 Turunan Fungsi Aljabar Pengertian Rumus dan Sifat sifatnya

untuk nilai h sangat kecil, h dapat dinyatakan mendekati nol (h → 0). Apa artinya? Jika nilai h mendekati nol, fungsi kecepatan sesaat akan berlaku sebagai berikut.

1669601287 610 Turunan Fungsi Aljabar Pengertian Rumus dan Sifat sifatnya

Persamaan di atas merupakan bentuk laju perubahan jarak terhadap waktu atau turunan dari fungsi jarak terhadap waktu.

Jika diterapkan pada apa saja f(x), tingkat perubahan akan berlaku f(x) ke x atau turunan pertama f(x) ke x (f'(x)), sehingga persamaannya menjadi:

1669601288 642 Turunan Fungsi Aljabar Pengertian Rumus dan Sifat sifatnya

Rumus untuk Fungsi Aljabar Derivatif

Persamaan turunan yang mengandung fungsi limit efektif digunakan untuk persamaan fungsi linier atau pangkat 1. Namun, rumus ini kurang efektif bila digunakan untuk persamaan fungsi aljabar yang derajat polinomialnya lebih besar dari 1 (pangkat lebih dari 1). Untuk itu, Anda bisa menggunakan rumus berikut.

  1. f(x) = b → f'(x) = 0

Konstanta akan menjadi nol jika diturunkan, misalnya f(x) = 15 → f'(x) = 0.

  1. f(x) = bx → f'(x) = b

Jika variabel x diturunkan terhadap xakan mengembalikan 1. Contoh:

  • f(x) = x → f'(x) = 1
  • f(x) = 2x → f'(x) = 2
  • f(x) = 5x – 3 →f'(x) = 5
  1. f(x) = kapakn → f'(x) = naxn-1

Rumus di atas berlaku untuk turunan fungsi eksponensial ya. Saat menurunkan suatu fungsi, berarti Anda mencari turunan dari fungsi tersebut atau eksponennya menjadi lebih kecil. Misalnya, jika variabel x2 diturunkan terhadap xmaka derajat variabel akan berkurang sebesar 1 sampai x. Jika variabel x3 diturunkan terhadap xmaka derajat variabel akan berkurang sebesar 1 sampai x2 dll Perhatikan contoh berikut.

f(x) = 6x4 +2x3 → f'(x) = (4)(6)x3 + (3)(2)x2

= 24x3 + 6x2

Turunan suatu fungsi aljabar juga dapat dinyatakan dalam bentuk notasi Leibniz sebagai berikut.

1669601288 624 Turunan Fungsi Aljabar Pengertian Rumus dan Sifat sifatnya

Bagaimana Quipperian, mudah bukan turunan dari fungsi aljabar itu?

Sifat-sifat Fungsi Aljabar Derivatif

Turunan suatu fungsi aljabar memiliki sifat-sifat tertentu yang nantinya dapat memudahkan kamu dalam menyelesaikan soal. Berikut adalah sifat-sifat turunan dari fungsi aljabar.

  1. 1669601289 98 Turunan Fungsi Aljabar Pengertian Rumus dan Sifat sifatnya

Sifat-sifat di atas berlaku untuk penjumlahan atau pengurangan dua fungsi atau lebih. Perhatikan contoh berikut.

1669601289 845 Turunan Fungsi Aljabar Pengertian Rumus dan Sifat sifatnya
  1. 1669601289 187 Turunan Fungsi Aljabar Pengertian Rumus dan Sifat sifatnya

Sifat-sifat di atas berlaku untuk turunan hasil kali fungsi, misalnya pada perkalian antar fungsi kamu(x) dan ay(x). Perhatikan contoh berikut.

1669601290 849 Turunan Fungsi Aljabar Pengertian Rumus dan Sifat sifatnya
  1. 1669601290 970 Turunan Fungsi Aljabar Pengertian Rumus dan Sifat sifatnya

Sifat-sifat di atas berlaku untuk turunan fungsi pembagian, misalnya pembagian antar fungsi kamu(x) dan ay(x). Perhatikan contoh berikut.

1669601290 393 Turunan Fungsi Aljabar Pengertian Rumus dan Sifat sifatnya
  1. 1669601291 304 Turunan Fungsi Aljabar Pengertian Rumus dan Sifat sifatnya

Perhatikan contoh berikut.

1669601291 771 Turunan Fungsi Aljabar Pengertian Rumus dan Sifat sifatnya
  1. 1669601292 1 Turunan Fungsi Aljabar Pengertian Rumus dan Sifat sifatnya

Sifat-sifat di atas merupakan aturan rantai turunan fungsi aljabar. Selain menurunkan fungsi yang dinaikkan menjadi daya, Anda juga harus menurunkan fungsi secara keseluruhan.

Contoh Fungsi Aljabar Derivatif

Contoh turunan fungsi aljabar adalah sebagai berikut.

Temukan turunan dari fungsi aljabar akar berikut.

1669601292 144 Turunan Fungsi Aljabar Pengertian Rumus dan Sifat sifatnya

Diskusi:

Dalam soal di atas berlaku aturan rantai turunan fungsi aljabar. Apa yang dimaksud dengan aturan rantai turunan?

1669601292 385 Turunan Fungsi Aljabar Pengertian Rumus dan Sifat sifatnya

Pertama, Anda harus mengasumsikan 2x3 – 4x sebagai kamu(x). Dengan demikian, persamaannya menjadi:

1669601293 369 Turunan Fungsi Aljabar Pengertian Rumus dan Sifat sifatnya

Selanjutnya, tentukan turunannya menggunakan sifat nomor 5.

1669601293 476 Turunan Fungsi Aljabar Pengertian Rumus dan Sifat sifatnya

Setelah mencari turunannya kamuAnda harus menemukan turunannya f(x).

1669601293 966 Turunan Fungsi Aljabar Pengertian Rumus dan Sifat sifatnya

Aplikasi Fungsi Aljabar Derivatif

Turunan suatu fungsi aljabar biasanya diterapkan pada beberapa soal matematika seperti gradien garis singgung kurva sebagai berikut.

1669601294 126 Turunan Fungsi Aljabar Pengertian Rumus dan Sifat sifatnya

Dari grafik di atas, Anda akan menemukan garis potong dan garis normal. Garis potong adalah garis yang memotong grafik pada dua titik. Persamaan gradien garis singgung dapat dinyatakan sebagai berikut.

1669601294 758 Turunan Fungsi Aljabar Pengertian Rumus dan Sifat sifatnya

Dari gambar di atas, x2 = x1 + hdengan y = f(x), jadi kita dapatkan:

1669601294 577 Turunan Fungsi Aljabar Pengertian Rumus dan Sifat sifatnya

Saat A mendekati B, nilai h akan semakin kecil. Jika nilai h mendekati nol, artinya garis k akan menjadi garis singgung l dengan gradien m1 di titik A (x1, y1). Oleh karena itu, diperoleh persamaan:

1669601295 730 Turunan Fungsi Aljabar Pengertian Rumus dan Sifat sifatnya

Jadi, gradien adalah turunan pertama dari fungsi kurva atau grafik.

1669601295 574 Turunan Fungsi Aljabar Pengertian Rumus dan Sifat sifatnya

Jika nilai gradien diketahui, Anda dapat menentukan persamaan garis singgung dengan rumus berikut.

1669601296 517 Turunan Fungsi Aljabar Pengertian Rumus dan Sifat sifatnya

Masalah Derivatif Aljabar

Untuk mengasah kemampuan Anda tentang materi ini, mari kita lihat contoh soal berikut.

Contoh soal 1

Tentukan persamaan garis singgung kurva tersebut y = x2 – 4x – 5 pada absis 1!

Diskusi:

Pertama, Anda harus mencari titik ordinat dengan mensubstitusikan x = 1 ke persamaan kurva.

y = x2 – 4x – 5

f(x) = x2 – 4x – 5

f(1) = 12 – 4(1) – 5

f(2) = -8

Dari perhitungan diatas diperoleh koordinat titik kontak yaitu (1, -8).

Selanjutnya, tentukan gradien garis singgung.

1669601296 546 Turunan Fungsi Aljabar Pengertian Rumus dan Sifat sifatnya

Dengan demikian, persamaan garis dapat dinyatakan sebagai berikut.

yy1 = m (xx1)

y –(-8) = -2(x – 1)

y = -2x – 6

Jadi, persamaan garis menyinggung kurva y = x2 – 4x – 5 dalam absis dari 1 adalah y = -2x – 6.

Contoh soal 2

Sebuah bola ditendang dengan sudut elevasi tertentu sehingga mengalami gerak parabola. Persamaan gerak bola dinyatakan sebagai h(t) = 4t – 2t2. Berapa tinggi maksimum bola?

Diskusi:

Besaran yang dicari dalam soal adalah tinggi maksimum. Artinya, kecepatan di titik tertinggi adalah nol. Sedangkan persamaan yang tertera pada soal adalah persamaan jalur. Jadi, Anda harus menentukan turunan pertama dari persamaan jalur.

1669601296 28 Turunan Fungsi Aljabar Pengertian Rumus dan Sifat sifatnya

Kemudian, substitusikan nilainya t = 1 s ke persamaan jalur.

h(t) = 4t – 2t2

h(1) = 4(1) – 2(1)2

h(1) = 2m

Jadi, tinggi maksimum bola tersebut adalah 2 m.

Contoh soal 3

Satu unit UMKM pengolahan makanan ringan mampu berproduksi x unit makanan dengan biaya (2x2 – 4x +10) dalam ribuan rupiah untuk setiap unit. Jika jajanan tersebut habis dengan harga jual Rp 10.000 per unit, berapa keuntungan maksimal per unit yang didapatkan UMKM tersebut?

Diskusi:

Dikenal:

Banyak makanan = x unit

Biaya produksi per unit = 2x2 – 4x + 10 dalam ribuan

Harga jual per unit = 10 (ribuan)

Pada awalnya, misalkan laba perusahaan sebagai g(x).

g(x) = untung = harga jual – biaya produksi, jadi:

g(x) = 10x – (2x2 – 4x +10)x

= 10x – 2x3 +4x2 – 10x

= – 2x3 +4x2

Keuntungan maksimum diperoleh jika g'(x) = 0. Jadi:

g(x) = – 2x3 +4x2

g'(x) = -6x2 +8x

0 = -6x2 +8x

-6x2 +8x = 0

3x2 – 4x = 0

x(3x – 4) = 0

x = 0 atau x = 4/3

skor x yang memenuhi = 4/3.

Kemudian, substitusikan nilainya x = 4/3 ke persamaan g(x).

g(4/3) = – 2(4/3)3 + 4(4/3)2

= -4,74 + 7,11

= 2,37

Jadi, keuntungan maksimal yang diperoleh UMKM ini adalah Rp 2.370 per unit.

Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bermanfaat, ya. Untuk melihat materi lengkapnya, buruan gabung dengan Quipper Video. Salam Quippers!

Share:

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *