Rumus Lingkaran : Pengertian, Sifat, Unsur, Contoh Soal Lingkaran dan Pembahasannya

Rumus Luas dan Keliling Lingkaran – Apa arti lingkaran dalam matematika? Lingkaran Apa yang dimaksud dengan lingkaran? Apa saja unsur-unsur lingkaran? Apa rumus menghitung keliling dan rumus lingkaran?

Baca juga : Jenis-Jenis Bentuk Datar

Agar lebih memahaminya kali ini kita akan membahas tentang pengertian lingkaran, sifat-sifatnya, unsur-unsurnya, rumusnya, contoh soal lingkaran dan pembahasan lengkapnya.

Definisi Lingkaran

Lingkaran adalah himpunan semua titik pada suatu bidang yang berada dalam jarak tertentu yang disebut jari-jari dari suatu titik yang disebut pusat.

Sifat-sifat Lingkaran

Sifat atau ciri-ciri lingkaran antara lain :

• Memiliki simetri rotasi tak terhingga.
• Ia mempunyai simetri lipat dan sumbu yang tak terhingga.
• Tidak memiliki titik sudut.
• Memiliki satu sisi.

Elemen Lingkaran

Berikut unsur-unsur atau bagian-bagian lingkaran:

Informasi:
O = titik pusat
AB = diameter
OC = radius (r)
IKLAN = tali busur
SM = busur
OE = apotema

Titik tengah

Titik pusat (P) adalah titik pusat lingkaran, dimana jarak titik tersebut ke titik manapun pada lingkaran selalu konstan.

Jari

Jari-jari (R) adalah garis lurus yang menghubungkan titik pusat dengan lingkaran.

tali busur

Tali busur (TB) adalah garis lurus pada lingkaran yang memotong lingkaran tersebut di dua titik berbeda.

Busur

Busur (B) adalah garis lengkung, baik terbuka maupun tertutup, yang berimpit dengan lingkaran.

Lingkar

Keliling lingkaran (K) adalah busur terpanjang pada lingkaran tersebut.

Diameter

Diameter (D) adalah tali busur terbesar yang panjangnya dua kali jari-jarinya. Diameter membagi lingkaran menjadi luas yang sama.

Apotema

Apotema adalah garis terpendek antara tali busur dan pusat lingkaran.

Juri

Jari-jari (J) adalah luas lingkaran yang dibatasi oleh sebuah busur dan dua jari-jari pada kedua ujungnya.

Baca Juga : Rumus Layang-Layang

Pecahan barang tanah

Bagian (T) adalah luas lingkaran yang dibatasi oleh busur dengan tali busurnya.

Cakram

Disk (C) adalah semua area di dalam lingkaran. Luas piringan adalah jari-jari kuadrat dikalikan pi. Cakram tersebut merupakan cakram terbesar.

Sudut Tengah dan Sudut Keliling

Sudut pusat adalah sudut dengan derajat tertentu yang dibentuk oleh dua jari-jari yang berhadapan pada busur lingkaran. Sedangkan sudut keliling adalah sudut pada lingkaran yang dibentuk oleh dua tali busur. Perbedaan sudut pusat dan sudut keliling terletak pada unsur pembentuknya, sudut pusat dibentuk oleh dua jari-jari sedangkan sudut keliling dibentuk oleh dua tali busur.

Sudut pusat dan sudut lingkaran yang memenuhi kriteria tertentu dapat mempunyai hubungan.

“Jika ada sudut di pusat lingkaran dan sudut di keliling lingkaran yang berhadapan dengan tali busur lingkaran yang sama, maka dua kali sudut lingkaran sama dengan nilai sudut pusat.”

• Sudut Tengah = 2 x Sudut Keliling
• Sudut Keliling = 1/2 x sudut pusat

Ciri-ciri sudut pusat dan sudut keliling lingkaran, antara lain :

1. Sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran selalu membentuk sudut 90 derajat atau biasa disebut sudut siku-siku.

Sudut PRQ adalah 90 derajat.

2. Sudut keliling yang menghadap busur yang sama mempunyai besar sudut yang sama.

Berdasarkan sifat-sifat di atas, besarnya ∠QPR = ∠QTR = ∠QSR

3. Sudut-sudut keliling yang berhadapan satu sama lain mempunyai jumlah sudut total 180 derajat.

∠PSR + ∠PQR = 180 derajat

Sudut Antara Dua Tali Busur

Permasalahan yang melibatkan dua akord yang berpotongan seringkali cukup membingungkan. Jika perpotongannya tepat pada garis lingkaran maka akan sangat mudah. Namun jika perpotongannya terjadi di dalam lingkaran atau di luar lingkaran maka akan cukup membingungkan.

A. Berpotongan Satu Sama Lain Di Dalam Lingkaran
Jika ada dua tali busur yang saling berpotongan dalam suatu lingkaran, maka sudut antara kedua tali busur yang berpotongan dalam suatu lingkaran adalah sama dengan setengah jumlah sudut pusat tepat di depan dan di belakangnya. Perhatikan contoh berikut.

Baca Juga: Rumus Trapesium

∠PTS = ½ (∠POS + ∠QOR)
∠STR = ½ (∠SOR + ∠POQ)

B. Saling berpotongan di luar lingkaran
Jika ada dua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran, maka sudut antara kedua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran adalah setengah selisih sudut pusat kedua tali busur tersebut.

∠TRP = ½ (∠TOP – ∠SOP)

Rumus Lingkaran

Daerah Lingkaran
L = π xrxr
L = π x r²
Lingkar
K = πxd
K = 2πr
K = π x 2 xr
Diameter Lingkaran
d = 2 × r
Radius Lingkaran
r = d : 2
Mencari r Lingkaran

Cara Mencari Panjang Busur, Tali Busur, Lebar Lingkaran, dan Penampang Lingkaran

Rumus Panjang Busur

Rumus Panjang Tali Busur

Rumus Area Juring

Baca Juga: Rumus Jajar Genjang

Rumus Segitiga

Rumus Area Bagian

Luas Penampang = Luas Tepi – Luas Segitiga

Informasi:
π = 3,14 atau 22/7
π = 22/7 digunakan jika jari-jari (r) atau diameter (d) merupakan kelipatan 7 atau dapat dibagi 7
π = 3,14 digunakan jika jari-jari (r) atau diameter (d) bukan kelipatan 7 atau tidak dapat dibagi 7
r = jari-jari
d = diameter (2xr)
α = sudut pusat, sudut yang menghadap tali busur.

Contoh Soal Lingkaran

Berikut contoh soal lingkaran dan cara penyelesaiannya:

1. Sebuah roda berbentuk lingkaran mempunyai diameter 30 cm. Tentukan luas lingkaran dan keliling lingkaran!

Diskusi:

Dikenal:
d = 30 cm, maka r = 30/2 = 15
Ditanya: Luas dan Keliling?

Menjawab:

A. Lebar
Luas = π.r²
Luas = 3,14 x 15²
Luas = 3,14 x 225 = 707 cm²

B. Sekitar
Keliling = 2.π.r
K = 2.22/7.15
K = 30 x 22/7
K = 660/7
K = 95 cm

2. Perhatikan gambar di bawah ini!

Diketahui panjang busur AB = 33 cm dan luas busur COD = 924 cm², maka tentukan:

A. Panjang Busur CD
B. Di luar Juring AOB
C. Area Bagian CD.

Diskusi:

A. Panjang Busur AB/CD = ∠ AOB/∠ COD

Panjang Busur CD = ∠COD/∠AOB x Panjang Busur AB
Panjang Busur CD = 60/45 x 33 = 44 cm

B. Luas AOB/COD = ∠ AOB/∠ COD

Luas Jing AOB = ∠ AOB/∠ COD x Luas Jing COD
Luas Juring AOB = 45/60 x 924 = 693 cm²

C. Area Bagian CD

Jika diperhatikan kembali lingkaran diatas, maka dengan sudut 60º panjang OC = OD = CD = jari-jari lingkaran. Untuk mencari jari-jari lingkaran, Anda dapat menggunakan perbandingan sudut untuk mencari keliling lingkaran, lalu mencari panjang jari-jarinya.

Panjang Busur CD/Keliling lingkaran = 60/360
Keliling lingkaran = Panjang Busur CD x 360/60
Keliling lingkaran = 44 x 6
2πr = 44 x 6
πr = 132
22/7 xr = 132
r = 132/22 x 7 = 42.

Baca Juga: Rumus Segitiga

Baca Juga:

Kebijakan Pemerintah Kolonial Di Indonesia Pada Masa Abad Ke-19 Dan Abad Ke-20

Setelah kamu menemukan r, selanjutnya kamu bisa menentukan tinggi segitiga ODC dengan menggunakan teorema Pythagoras atau rumus segitiga sama sisi. Mari kita coba teorema Pythagoras

t = √(422-212)
t = √(1,764-441
t = √1.323
t = 21√3

Luas Segitiga ΔOCD = 0,5 x 42 x 21√3
Luas Segitiga ΔOCD = 441√3

Area Bagian CD
Luas Bagian CD = Luas Bagian COD – Luas ΔOCD
Luas Bagian CD = 924 – 441√3 cm²
Luas Bagian CD = 483√3 cm²

3. Sebuah lingkaran mempunyai jari-jari 8 cm. Berapakah keliling lingkaran tersebut?

Diskusi:

Dikenal:
r = 8 cm
π = 3,14 atau 22/7
Ditanya: Bepergian?

Menjawab:
K = 2πr
K = 2,3,14,8
K = 50,24 cm

4. Sebuah kolam ikan berbentuk lingkaran dengan diameter 12 m, berapa keliling kolam ikan tersebut?

Diskusi:

Dikenal:
d = 12 m
Ditanya: sekitar?

Menjawab:
K = πxd
K = 3,14 x 12 = 37,68 m

5. Sepotong kertas dipotong menjadi lingkaran dengan jari-jari 14 cm, tentukan luas kertas tersebut!

Diskusi:

Dikenal:
r = 14cm
π = 3,14 atau 22/7
Ditanya: lebar?

Menjawab:
L = π xrxr
L = 22/7 x 14 x 14
L = 616 cm²

6. Keliling sebuah lingkaran mempunyai keliling 154 cm. Berapakah jari-jari lingkaran tersebut? (Nomor 3)

Diskusi:

Dikenal:
K = 154 cm
π = 3,14 atau 22/7
Ditanya: r…?

Menjawab:
K = π xd atau π x 2 xr
2r = K : π
2r = 154 : 22/7
2r = 154 x 7/22
2r = 49
r = 49/2
r = 24,5cm

7. Sebuah lingkaran kertas mempunyai keliling 616 cm. Tentukan diameter kertas tersebut!

Diskusi:

Dikenal:
K = 616cm
π = 3,14 atau 22/7
Ditanya : d…?

Menjawab:
d = K : π
d = 616 : 22/7
d = 616 x 7/22
d = 196cm

8. Dila mempunyai hula hoop yang kelilingnya 220 cm. Tentukan jari-jari hula hoop tersebut!

Diskusi:

Dikenal:
K = 220 cm
π = 3,14 atau 22/7
Ditanya: r…?

Menjawab:
K = π xd atau π x 2 xr
2r = K : π
2r = 220: 22/7
2r = 220 x 7/22
2r = 70
r = 70/2
r = 35 cm

9. Luas sebuah lingkaran adalah 2.464 cm². Tentukan keliling lingkaran tersebut!

Baca Juga: Rumus Persegi Panjang

Baca Juga:

Pengertian Komunitas Dan Individu Populasi Pada Ekosistem

Diskusi:

Dikenal:
L = 2.464 cm²
π = 3,14 atau 22/7
Ditanya : K…?

Menjawab:
L = π x r²
r² = L : π
r² = 2,464 : 22/7
r² = 2,464 x 7/22
r² = 784
r = √784
r = 28

Jadi d = 2r = 2,28 = 56 cm

K = πxd
K = 22/7 x 56
K = 176 cm

10. Sebuah taman berbentuk lingkaran dengan diameter 56 meter akan ditanami rumput. Harga rumput Rp 8.000,00/m². Berapa biaya untuk membeli rumput?

Diskusi:

Dikenal:
d = 56 m, jadi r = 28 m.
Harga rumput = Rp 8.000,00/m²
Ditanya: biaya untuk membeli rumput?

Menjawab:
Untuk mengetahui harga rumput kita harus mengetahui luas lingkarannya.
L = π x r²
L = 22/7 x 28 x 28
L = 2.464 m²

Jadi,
Harga rumput = 2.464 m2 x Rp 8.000,00/m²
Harga rumput = Rp 19.712.000,00

11. Sebuah kolam renang berbentuk lingkaran mempunyai diameter 60 meter. Kolam ini dikelilingi jalan setapak selebar 1 meter. Berapa lebar jalan setapaknya?

Diskusi:

Dikenal:
d kolam = 60 m, maka r = 30 m
Lebar jalan = 1 m
Diameter kolam + lebar jalan = diameter lingkaran besar
Diameter lingkaran besar = 60 m + (2 x 1 m) = 62 m, jadi r = 31 m
Ditanya: lebar jalan?

Menjawab:

(L kolam + L jalan) = luas lingkaran besar
L lingkaran besar = π x r²
L lingkaran besar = 3,14 x 31 x 31
L lingkaran besar = 3017,54 m²
L kolam = 3,14 x 30 x 30
L kolam = 2826 m²

Luas jalan = (L kolam + L jalan) – L kolam
Luas jalan = 3017,54 m² – 2826 m² = 191,54 m²
Jadi luas jalan tersebut adalah 191,54 m²

12. Ibu membuat alas kaca berbentuk lingkaran dengan diameter 12 cm. Tatakan gelasnya terbuat dari kain flanel. Kalau Ibu membuat 1 lusin tatakan gelas. Hitunglah luas seluruh alas kaca tersebut!

Diskusi:

Dikenal:
d = 12 cm, r = 6 cm
Jumlah tatakan gelas = 1 lusin = 12 buah
Ditanya : luas seluruh alas kaca?

Menjawab:
L = π x r²
L = 3,14 x 6 x 6
L = 113,04 cm²
L total alas kaca = 113,04 cm² x 12 = 1356,48 cm²
Jadi, luas alas kaca tersebut adalah 1356,48 cm²

13. Sebuah roda sepeda mempunyai jari-jari 35 cm. Ketika sepeda dikayuh, rodanya berputar sebanyak 50 kali. Jarak yang ditempuh dengan sepeda?

Baca Juga: Rumus Persegi

Diskusi:

Dikenal:
r = 35 cm, d = 70 cm
Ditanya : keliling dan jarak yang ditempuh?

Menjawab:
K = πxd
K = 22/7 x 70
K = 220 cm
Jarak yang ditempuh = Keliling lingkaran x jumlah putaran
Jarak tempuh = 220 cm x 50 = 11.000 cm = 110 meter
Jadi, jarak yang ditempuh sepeda tersebut adalah 110 meter.

14. Perhatikan gambar berikut!

Tentukan keliling bangun tersebut!

Diskusi:

Dikenal:
diameter = 21 cm
Ditanya: sekitar?

Menjawab:
K = πxd
Keliling bangun tersebut = garis lengkung + r + r
Keliling bangun tersebut = (3/4 x π xd) + r + r
Keliling bangun = (3/4 x 22/7 x 21) + 10,5 + 10,5
Keliling bangun tersebut = 70,5 cm

15. Perhatikan gambar di bawah ini!

Tentukan keliling dan luas bangun di atas!

Diskusi:

Dikenal:
diameter 1/2 lingkaran besar = 28 cm
diameter 1/2 lingkaran kecil = 14 cm
Ditanya: keliling dan luas?

Menjawab:

A. Sekitar Bangun
K = πxd
K 1/2 lingkaran besar = 1/2 x π xd
K 1/2 lingkaran besar = 1/2 x 22/7 x 28
K 1/2 lingkaran besar = 44 cm

K 1/2 lingkaran kecil = 1/2 x π xd
K 1/2 lingkaran kecil = 1/2 x 22/7 x 14
K 1/2 lingkaran kecil = 22 cm

1/2 keliling lingkaran merupakan garis lengkung
Keliling bangun tersebut = 1/2 K. lingkaran besar + (2 x 1/2 K. lingkaran kecil)
Keliling bangun tersebut = 44 cm + (2 x 22 cm) = 88 cm

Jadi, keliling bangun tersebut adalah 88 cm

B. Daerah Bangun

Dikenal:
r lingkaran besar = 14 cm
r lingkaran kecil = 7 cm
Ditanya: luas bangunan?

Menjawab:
L = π x r²
L 1/2 lingkaran besar = 1/2 x π x r²
L 1/2 lingkaran besar = 1/2 x 22/7 x 14 x 14
L 1/2 lingkaran besar = 308 cm²

L 1/2 lingkaran kecil= 1/2 x π x r²
L 1/2 lingkaran kecil = 1/2 x 22/7 x 7 x 7
L 1/2 lingkaran kecil = 77 cm²

Luas bangun = L.lingkaran besar + (2 x L.lingkaran kecil)
Luas bangunan = 308 cm² + (2 x 77 cm²)
Luas bangunan = 308 cm² + 154 cm²
Luas bangunan = 462 cm²

Jadi luas gambar di atas adalah 462 cm²

Baca Juga: Rumus Belah Ketupat

Baca Juga:

Pengertian Kultur Jaringan : Macam Jenis, Teknik, Syarat, Tahapan, Keuntungan dan Contoh Kultur Jaringan

Demikianlah artikel membahas tentang pengertian lingkaran, sifat-sifat, unsur-unsur, rumus, contoh soal lingkaran dan pembahasan lengkapnya. semoga bermanfaat