Dalam dunia statistika, rumus frekuensi harapan merupakan konsep yang penting untuk dipahami. Frekuensi yang diharapkan adalah nilai yang diharapkan atau rata-rata dari suatu variabel acak berdasarkan distribusi probabilitasnya. Pada artikel kali ini kita akan membahas rumus frekuensi harapan secara mendalam.
Memahami Frekuensi Ekspektasi
Frekuensi yang diharapkan, atau disebut juga dengan nilai yang diharapkan, adalah nilai rata-rata yang diharapkan dari suatu variabel acak jika kita melakukan percobaan berkali-kali dalam jangka waktu yang lama. Nilai ini dihitung berdasarkan probabilitas setiap kemungkinan hasil.
Rumus Frekuensi yang Diharapkan
Rumus frekuensi yang diharapkan untuk variabel acak X dengan nilai x_{1}, x_{2}, …, x_{n} dan probabilitas setiap nilai hal_{1}, hal_{2}, …, hal_{n} adalah sebagai berikut:
Baca Juga:
E(X) = x_{1}p_{1} + x_{2}p_{2} + … + x_{n}p_{n}
Dengan kata lain, kita mengalikan setiap nilai variabel acak dengan probabilitasnya, lalu menjumlahkan semua hasilnya.
Contoh Soal Frekuensi Ekspektasi
Berikut beberapa contoh soal frekuensi ekspektasi, lengkap dengan penjelasan dan jawabannya:
Baca Juga:
Sebuah dadu besar dengan enam sisi bernomor 1 sampai 6 dilempar. Tentukan frekuensi yang diharapkan dari hasil pelemparan dadu!
Diskusi
Karena dadunya adil, peluang setiap hasil (1, 2, 3, 4, 5, 6) adalah sama, yaitu \frac{1}{6} . Dengan menggunakan rumus frekuensi harapan, kita dapat menghitung frekuensi harapan sebagai berikut:
Baca Juga:
E(X) = 1*\kiri(\frac{1}{6}\kanan) + 2*\kiri(\frac{1}{6}\kanan) + 3*\kiri(\frac{1}{ 6}\kanan) + 4*\kiri(\frac{1}{6}\kanan) + 5*\kiri(\frac{1}{6}\kanan) + 6*\kiri(\frac{1} {6}\kanan) = 3,5
Jadi, frekuensi pelemparan dadu yang diharapkan adalah 3,5.
Sebuah koin yang adil dilempar. Jika muncul angka, Anda mendapat Rp 10.000, dan jika muncul angka, Anda kehilangan Rp 5.000. Tentukan frekuensi yang diharapkan dari hasil pelemparan koin!
Baca Juga:
Diskusi
Karena koinnya adil, probabilitas setiap hasil (kepala dan angka) adalah sama, yaitu \frac{1}{2} . Dengan menggunakan rumus frekuensi harapan, kita dapat menghitung frekuensi harapan sebagai berikut:
E(X) = 10.000*\kiri(\frac{1}{2}\kanan) + (-5000)*\kiri(\frac{1}{2}\kanan) = 2500
Baca Juga:
Jadi, frekuensi hasil pelemparan koin yang diharapkan adalah Rp 2.500.
Sebuah kantong berisi 3 bola merah, 2 bola biru, dan 1 bola hijau. Jika bola merah bernilai 5, bola biru bernilai 3, dan bola hijau bernilai 1, tentukan frekuensi harapan dari nilai sebuah bola yang diambil secara acak dari dalam kantong!
Diskusi
Baca Juga:
Peluang terambilnya bola merah adalah \frac{3}{6} = \frac{1}{2} bola biru itu \frac{2}{6} = \frac{1}{3} dan bola hijau adalah \frac{1}{6} . Dengan menggunakan rumus frekuensi harapan, kita dapat menghitung frekuensi harapan sebagai berikut:
E(X) = 5*\kiri(\frac{1}{2}\kanan) + 3*\kiri(\frac{1}{3}\kanan) + 1*\kiri(\frac{1}{ 6}\kanan) = 3,5
Jadi, frekuensi yang diharapkan dari nilai bola yang ditarik adalah 3,5.
Baca Juga:
Roda berputar dengan 4 sektor berukuran sama. Sektor 1 bernilai 10, sektor 2 bernilai 20, sektor 3 bernilai 30, dan sektor 4 bernilai 40. Tentukan frekuensi harapan dari nilai sektor yang ditunjuk oleh jarum setelah roda berhenti berputar!
Diskusi
Karena setiap sektor mempunyai peluang yang sama untuk tertusuk jarum, maka peluang setiap sektor adalah sama \frac{1}{4} . Dengan menggunakan rumus frekuensi harapan, kita dapat menghitung frekuensi harapan sebagai berikut:
Baca Juga:
E(X) = 10*\kiri(\frac{1}{4}\kanan) + 20*\kiri(\frac{1}{4}\kanan) + 30*\kiri(\frac{1}{ 4}\kanan) + 40*\kiri(\frac{1}{4}\kanan) = 25
Jadi frekuensi yang diharapkan dari nilai sektor yang ditunjukkan oleh jarum adalah 25.
Sebuah dadu yang tidak adil dengan enam sisi bernomor 1 sampai 6 dilempar. Peluang setiap hasil adalah sebagai berikut: 1 ( \frac{1}{8} ), 2 ( \frac{1}{8} ), 3 ( \frac{1}{8} ), 4 ( \frac{1}{8} ), 5 ( \frac{1}{4} ), dan 6 ( \frac{1}{4} ). Tentukan frekuensi yang diharapkan dari hasil pelemparan dadu!
Baca Juga:
Diskusi
Dengan menggunakan rumus frekuensi harapan, kita dapat menghitung frekuensi harapan sebagai berikut:
E(X) = 1*\kiri(\frac{1}{8}\kanan) + 2*\kiri(\frac{1}{8}\kanan) + 3*\kiri(\frac{1}{ 8}\kanan) + 4*\kiri(\frac{1}{8}\kanan) + 5*\kiri(\frac{1}{4}\kanan) + 6*\kiri(\frac{1} {4}\kanan) = 4,25
Baca Juga:
Jadi, frekuensi pelemparan dadu yang diharapkan adalah 4,25.
Kesimpulan
Rumus frekuensi yang diharapkan merupakan alat penting dalam statistik dan teori probabilitas. Dengan memahami konsep ini, kita dapat menghitung nilai rata-rata yang diharapkan dari suatu variabel acak berdasarkan distribusi probabilitasnya. Jadi, jangan lupa untuk selalu belajar dan berlatih, karena dengan begitu kita bisa terus meningkatkan pemahaman kita tentang dunia statistika.
Baca Juga:
