Bilangan Rasional & Irasional: Pengertian, Contoh Soal

Konsep bilangan rasional irasional penting untuk dipelajari karena merupakan dasar dari berbagai operasi matematika seperti bentuk akar dan juga konversi bilangan dari bentuk akar menjadi bilangan dengan eksponen. Bilangan rasional dan irasional terdiri dari berbagai bilangan seperti bilangan bulat dan lain-lain.

Definisi Bilangan Rasional

Konsep bilangan rasional irasional mendasari perhitungan bilangan berupa akar-akar yang merupakan invers dari pangkat suatu bilangan. Bilangan real terdiri dari kombinasi bilangan rasional dan irasional.

Bilangan rasional sendiri adalah bilangan real yang ditulis sebagai pembanding antara dua bilangan bulat a dan b, dapat ditulis a/b dengan nilai b tidak sama dengan 0. Batas bilangan rasional antara lain -∞, ∞.

Bilangan rasional bila dituliskan sebagai pecahan desimal akan membentuk pola bilangan tertentu jika bilangan tersebut tidak berhenti atau bisa juga berhenti pada nilai tertentu.

Bilangan rasional terdiri dari pecahan biasa, bilangan bulat, bilangan bulat, dan pecahan campuran. Bilangan rasional dapat ditulis sebagai bilangan desimal dengan rangkaian bilangan yang berulang secara teratur, seperti 0,25000… (angka 0 berulang secara teratur).

Informasi:

R = Himpunan bilangan real
Q = himpunan bilangan rasional
Z = Himpunan bilangan bulat
N = Himpunan bilangan asli

Dapat dilihat pada Gambar 1 di atas bahwa bilangan rasional termasuk dalam bilangan real yang terdiri dari bilangan bulat dan bilangan asli.

Contoh Bilangan Rasional

Bilangan rasional terdiri dari bilangan rasional dengan pecahan biasa atau disebut pecahan biasa seperti ½, ¾ , 2/5, 3/5, 5/8, …, a/b. Pecahan biasa adalah pecahan yang penyebutnya lebih besar dari pembilangnya.

Pada pecahan a/b, angka a disebut pembilang dan b disebut penyebut. Bilangan rasional lainnya adalah bilangan rasional pecahan sempurna atau biasa disebut dengan bilangan campuran. Pecahan campuran yang merupakan bilangan rasional adalah 2 ½, 75/6, 25/8, 26/4 dan seterusnya.

Jika bilangan rasional ditulis sebagai bilangan desimal, maka ditulis sebagai rangkaian bilangan yang berulang secara teratur. Berikut beberapa contoh bilangan rasional dalam deret bilangan yang berulang secara teratur:

1/8 = 0,125000… (nol berulang secara teratur)

2/3 = 0,6666… (angka 6 berulang secara teratur)

3/7 = 0,428571428571… (angka 428571 berulang secara teratur)

17/9 = 1,8888… (angka 8 berulang secara teratur)

3/2 = 1,5000… (angka 0 berulang secara teratur)

Definisi Bilangan Irasional

Bilangan irasional adalah bilangan real yang mengandung pecahan desimal tak terhingga dan tidak memiliki pola. Bilangan irasional adalah bilangan real yang bukan bilangan rasional. Bilangan irasional bukanlah bilangan bulat dan juga bukan bilangan pecahan.

Bilangan irasional yang memiliki tanda akar (√) disebut bentuk akar. Namun, tidak semua angka dalam tanda akar kuadrat adalah angka irasional.

Ini karena beberapa angka dalam tanda akar dapat di-root ke bilangan bulat tertentu atau bilangan desimal berhingga dan berpola.

Misalnya bilangan √25 bernilai 5 dan √36 bernilai 6, bukan bilangan irasional, melainkan bilangan rasional. Contoh akar bilangan irasional adalah √20 dan √18 karena nilainya tak terhingga dan tidak berpola. Sama seperti kendala pada bilangan rasional, kendala pada bilangan irasional meliputi -∞, ∞.

Contoh Bilangan Irasional

Contoh bilangan irasional adalah akar kuadrat dari 2, yaitu √2 = 1,414213562373…. Nilai akar 2 bila dihitung tidak akan pernah habis dan juga tidak memiliki pola tertentu. Kemudian ada juga bilangan Euler (e) yang merupakan bilangan irasional karena memiliki nilai e = 2,718281828… (dan seterusnya).

Nilai phi (π) yang merupakan konstanta untuk menghitung luas dan keliling lingkaran juga merupakan bilangan irasional yaitu 22/7 yang jika dihitung ke dalam bilangan desimal memiliki nilai 3,141592653…. (dan seterusnya tanpa akhir).

Bilangan Rasional Irasional dalam Kehidupan Sehari-hari

Bilangan rasional irasional memiliki aplikasi yang sangat luas dalam kehidupan sehari-hari. Hal ini karena bilangan rasional dan irasional merupakan bilangan real yang merupakan himpunan bilangan real atau bilangan asli yang terdiri dari bilangan aritmatika asli.

Bilangan rasional irasional digunakan dalam perhitungan matematis, geometri, ekonomi, fisika dan sebagainya.

Operasi Perhitungan Bilangan Rasional Irasional

1. Operasi Penambahan

Operasi penjumlahan pada bilangan rasional dan irasional merupakan operasi untuk menjumlahkan bilangan yang sudah ada. Untuk memudahkan operasi penjumlahan pada bilangan rasional dan irasional, maka bentuk bilangan tersebut harus disamakan terlebih dahulu.

Misalnya penjumlahan bilangan berupa pecahan dengan pecahan desimal harus disamakan dengan bentuk desimal atau pecahan. Contoh:

0,5 + 3/7 (ubah 3/7 menjadi desimal)
= 0,5 + 0,43
= 0,93

Pecahan 3/7 diubah menjadi pecahan desimal dan kemudian dibulatkan menjadi dua tempat desimal.

Operasi penjumlahan dan perkalian bilangan rasional irasional bersifat komutatif dan asosiatif. Sifat komutatif adalah sifat tukar dimana operasi penjumlahan dan perkalian akan menghasilkan nilai yang sama walaupun posisi bilangan-bilangan tersebut ditukar.

Misalnya, menjumlahkan 24 + 16 = 16 + 24 = 40 (sifat komutatif). Sedangkan perkalian juga bersifat komutatif seperti 3 x 5 = 5 x 3 = 15 (sifat komutatif)

Sedangkan sifat asosiatif atau pengelompokan adalah mengelompokkan beberapa bilangan dalam perkalian atau penjumlahan tiga bilangan atau lebih dengan tanda kurung (). Contoh:

(5 x 4) x 2 = 5 x (4 x 2) (sifat asosiatif)
20×2 = 5×8
40 = 40

2. Operasi Pengurangan dan Pembagian

Operasi pengurangan dan pembagian bilangan rasional adalah irasional serta operasi pengurangan bilangan bulat. Sifat komutatif dan asosiatif tidak berlaku untuk operasi bilangan rasional dan irasional. Posisi angka mempengaruhi hasil operasi yang diperoleh.

3. Aturan Pembulatan Angka

Bilangan rasional irasional melibatkan pembulatan bilangan karena mengandung pecahan dan pecahan desimal. Pembulatan bilangan dilakukan untuk menyederhanakan beberapa digit desimal yang panjang, terutama bilangan irasional dengan bilangan desimal yang tidak pernah berakhir.

Berikut adalah beberapa aturan untuk pembulatan angka:

• Jika angka desimal lebih besar dari 5, angka di depannya dibulatkan ke atas
• Jika angka desimal kurang dari 5 maka angka di depannya memiliki nilai tetap. Misalnya 0,36 dibulatkan satu koma desimal menjadi 0,4 karena 6 lebih besar dari 5 maka 3 dibulatkan ke atas

Contoh Soal Bilangan Rasional Irasional

Tentukan bilangan di bawah ini yang merupakan bilangan rasional dan bilangan irasional.

A. 1/3
B. 3/17
C. ½
D. 2/5

Kesimpulan

Mempelajari konsep bilangan rasional irasional sangat penting dan harus dipahami oleh siswa sebelum mempelajari operasi Matematika lainnya seperti akar dan mengubah akar menjadi pecahan. Bilangan rasional dan irasional termasuk dalam bilangan real.