Memahami Fungsi Komposisi, Rumus, Syarat, Contoh dan Cara Mencarinya
Table of content:
Hai Sobat, saat SMP kamu sudah belajar tentang relasi dan fungsi kan? Apakah kamu ingat? Seperti yang telah dibahas di SMP sebelumnya, fungsi adalah hubungan satu-ke-satu antara area awal dan area ramah. Ternyata, sebuah fungsi bisa disubstitusi ke fungsi lain lho. Kombinasi fungsi seperti itu dikenal sebagai fungsi komposisi. Apa yang dimaksud dengan fungsi komposisi? Daripada penasaran, yuk simak selengkapnya!
Definisi Fungsi Komposisi
Komposisi fungsi adalah kombinasi dari dua atau lebih fungsi untuk membentuk fungsi baru. Dalam fungsi komposisi, proses substitusi satu fungsi ke fungsi lain berlaku.
Jika ada fungsi f(x), apa artinya fungsi itu? Fungsi f(x) adalah fungsi yang nilainya bergantung pada nilai x, misalnya f(x) = 5x + 7. Jika x = 1, maka nilai fungsinya adalah 5(1) + 7 = 12. Jadi , bagaimana jika x juga merupakan fungsi , misalnya x = g(x)? Coba substitusikan x = g(x) pada f(x), sehingga menjadi f(g(x)) atau bisa ditulis (fog)(x). Jadi, (fog)(x) adalah penulisan matematis dari fungsi komposisi.
Rumus Fungsi Komposisi
Sebelum membahas rumus fungsi komposisi, perhatikan diagram panah berikut.
Diagram panah di atas menunjukkan pemetaan dari asal yaitu x ke range yaitu f(x). Selanjutnya dilakukan pemetaan dari daerah ramah baru atau daerah asal f(x) ke daerah kedua yaitu g(x).
f : x → f(x)
f : f(x) → g(x)
Dengan demikian, rumus fungsi komposisi adalah sebagai berikut.
Syarat Komposisi Fungsi
Dua fungsi dapat disusun jika mereka memenuhi kondisi berikut.
Perpotongan antara rentang fungsi pertama dan asal fungsi kedua bukanlah himpunan kosong. Dengan kata lain, harus ada perpotongan antara range fungsi pertama dan domain fungsi kedua. Secara matematis, ini dinyatakan sebagai R1 ⊆ D2 atau R1 ∩ D2 ≠ { }. Perhatikan contoh berikut.
Ada dua fungsi sebagai berikut.
f: {(1, 5), (2, 7), (3, 9), (4, 11)}
g: {(5, 6), (7, 12), (11, 16)}
Baca Juga:
Manakah yang didefinisikan sebagai fungsi komposisi, (kabut)(x) atau (gof)(x)?
Ayo, selesaikan satu per satu!
Anda harus ingat bahwa syarat agar dua fungsi dapat disusun adalah R1 ∩ D2 ≠ { }.
Pertama, tinjau (kabut)(x).
Tentukan luas hasil g(x) dan asal f(x) terlebih dahulu. Dalam hal ini, g(x) adalah fungsi pertama dan f(x) adalah fungsi kedua.
Rg = {6, 12, 16}
Df = (1, 2, 3, 4}
Dari himpunan di atas, terlihat bahwa tidak ada irisan antara range fungsi g(x) dan domain fungsi f(x). Jadi, (kabut)(x) tidak terdefinisi atau tidak memenuhi syarat untuk fungsi komposisi.
Selanjutnya, tinjau (gof)(x).
Tentukan luas hasil f(x) dan asal g(x) terlebih dahulu. Dalam hal ini, f(x) adalah fungsi pertama dan g(x) adalah fungsi kedua.
Rf = {5, 7, 9, 11}
Dg = (5, 7, 11}
Baca Juga:
Dari dua himpunan di atas, diperoleh Rf ∩ Dg = {5, 7, 11}. Jadi, (gof)(x) didefinisikan sebagai fungsi komposisi.
Sampai di sini, apakah Sobat sudah paham?
Apa Sifat-sifat Fungsi Komposisi
Fungsi komposisi memenuhi sifat-sifat berikut.
- Sifat asosiatif berlaku, yaitu sebagai berikut. fo (goh) = (kabut) oh Sifat ini akan terpenuhi jika Rh ∩ Dg ≠ { }; Rg ∩ Df ≠ {}
- Properti identitas berlaku, yaitu sebagai berikut. foI = saya dari
- Masalah perhitungan gaji dan tunjangan
- Pembelahan bakteri melibatkan dua kuantitas
- Masalah nilai tukar antar mata uang
Lalu, apakah fungsi komposisi bersifat komutatif? Jawabannya tidak, ya. Ini mengacu pada kondisi yang dijelaskan sebelumnya, di mana (kabut) ≠ (gof).
Cara Menemukan Fungsi Komposisi
Cara mencari fungsi komposisi baik (fog)(x) maupun (gof)(x) cukup mudah yaitu hanya perlu mensubstitusikan persamaan fungsi pertama ke persamaan fungsi kedua. Untuk (kabut) Anda hanya perlu mensubstitusikan fungsi g(x) ke dalam persamaan fungsi f(x). Perhatikan contoh berikut.
Dikenal:
f(x) = x + 4
g(x) = 3x – 6
Persamaan fungsi komposisi untuk (kabut)(x) dapat ditemukan dengan mensubstitusikan g(x) = 3x – 6 menjadi f(x) = x + 4 sebagai berikut.
(kabut)(x) = f(3x – 6) = 3x – 6 + 4
(kabut)(x) = 3x – 2
Persamaan fungsi komposisi untuk (gof)(x) dapat ditemukan dengan mensubstitusi f(x) = x + 4 menjadi g(x) = 3x – 6 sebagai berikut.
Baca Juga:
(gof)(x) = g(x + 4) = 3(x + 4) – 6
(gof)(x) = 3x + 6
Lalu, bagaimana jika kamu mengetahui fungsi komposisi kemudian kamu diminta untuk menentukan fungsi f(x) atau g(x)? Dalam hal ini, Anda harus terlebih dahulu mencari invers dari fungsi tersebut sebagai berikut.
Dikenal:
(kabut)(x) = 3x – 2
g(x) = 3x – 6
Apa persamaan fungsi f(x)?
(kabut)(x) = 3x – 2
f(g(x)) = 3x – 2
f(3x – 6) = 3x – 2
Temukan invers dari g(x) atau g-1(x).
g(x) = 3x – 6, misalkan g(x) = y, jadi:
Baca Juga:
y = 3x – 6
y + 6 = 3x
x = y+6/3
substitusikan nilai x = y+6/3 ke dalam persamaan f(3x – 6) = 3x – 2.
f(y) = 3(y+6/3) – 2
f(y) = y + 4
f(x) = x + 4
Contoh Fungsi Komposisi
Contoh fungsi komposisi adalah sebagai berikut.
Dikenal:
f(x) = 2x – 4
g(x) = 3x + 2
h(x) = 5x – 1
Baca Juga:
Tentukan fungsi komposisi (fogoh)(x)!
Pertama, Anda harus mencari persamaan fungsi komposisi untuk (goh)(x).
g(x) = 3x + 2
h(x) = 5x – 1
(goh)(x) = 3(5x – 1) + 2
= 15x – 1
Kemudian, tentukan (fogoh)(x)!
(fogoh)(x) = f(g(h(x)))
= f(15x – 1)
= 2(15x – 1) – 4
= 30x – 6
Aplikasi Fungsi Komposisi
Siapa bilang fungsi komposisi hanya teori di atas kertas. Buktinya, ada beberapa penerapan fungsi ini dalam kehidupan sehari-hari, sebagai berikut.
Baca Juga:
Misalnya, jika seorang ASN mendapat tunjangan kinerja x kali gaji pokok dan tunjangan kesehatan 0,5 kali gaji pokok. Nah, untuk menentukan gaji masing-masing ASN, tentu tidak mungkin bagian keuangan menghitungnya satu per satu. Untuk memudahkan, kita membutuhkan fungsi komposisi.
Pertumbuhan bakteri dalam penelitian tentunya tidak hanya dipengaruhi oleh satu faktor saja, melainkan dipengaruhi oleh beberapa faktor atau besaran. Untuk memudahkan penelitian, peneliti harus mampu memformulasikan fungsi komposisi yang melibatkan beberapa variabel terkait, seperti suhu dan waktu pembelahan.
Masalah nilai tukar untuk satu jenis mata uang tidak memerlukan fungsi komposisi. Namun, ada kalanya seseorang menukar dua nilai mata uang. Misalnya, orang asing menukar USD ke Rupiah di negara asalnya. Kemudian, di tempat lain, orang asing menukarkan Rupiah dengan AUD di Indonesia.
Komposisi Fungsi Soal
Untuk mengasah kemampuan Anda tentang fungsi komposisi, mari kita lihat pertanyaan berikut.
Contoh soal 1
Tentukan luas hasil fungsi komposisi (kabut) dengan f(x) = 8 – x2 dan 
Diskusi:
Pertama, tentukan nilai (fog)(x).
Jadi (kabut)(x) = x + 6 adalah fungsi linier. Artinya, himpunan domain tidak memiliki batas, sehingga himpunan daerah hasil adalah himpunan tak terhingga. Jika ditulis secara matematis menjadi {y| – ∞ < y < ∞}.
Jadi, luas yang dihasilkan adalah {y| – ∞ < y < ∞}.
Contoh soal 2
Seorang ahli meneliti jejak tumpahan minyak di laut lepas. Jari-jari tumpahan minyak per satuan waktu dinyatakan sebagai r
Diskusi:
Dikenal:
Baca Juga:
r
L(r) = πr2
Ditanya: L
Menjawab:
Untuk mencari persamaan luas sebagai fungsi waktu, Anda harus mencari fungsi komposisi (L atau).
r
Gantikan nilai-nilai di atas dalam persamaan luas.
L(r) = πr2
L(5t – t2) = π(5t – t2)2
L
Jadi, bentuk persamaan fungsi komposisi adalah L
Contoh soal 3
Proses produksi tahu di sebuah pabrik dilakukan dalam dua tahap. Tahap pertama meliputi proses penggilingan kedelai (x dalam kwintal) menjadi bubur kedelai (p dalam kwintal) dengan bantuan mesin A dan mengikuti fungsi p = f(x) = 2x2 + x – 5.
Baca Juga:
Tahap kedua berlangsung dengan bantuan mesin B. Pada tahap ini bubur kedelai akan diolah menjadi tahu dengan mengikuti persamaan fungsi g(p) = 2p – 15. Jika tersedia kedelai untuk sekali produksi sebanyak 5 kwintal, tentukan jumlah tahu yang dihasilkan!
Diskusi:
Pertama, Anda harus menentukan jumlah produksi pada tahap I oleh mesin A. Pada tahap ini, variabel x menunjukkan bahan baku berupa kedelai utuh.
f(x) = 2x2 + x – 5
f(5) = 2(5)2 – 5+5
= 50
Kemudian substitusikan nilai f(5) pada persamaan produksi tahap kedua dengan mesin B.
g(50) = 2(50) – 15
= 85 kwintal
Jadi, jumlah tahu yang dihasilkan adalah 85 kwintal.
Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bermanfaat, ya. Materi lengkapnya bisa kamu lihat di Quipper Video. Salam Quippers!
Baca Juga:
Artikel Terkait
