Barisan geometri adalah barisan bilangan dengan perbandingan atau rasio dari dua suku berurutan dengan nilai tetap. Deret geometri adalah suku pertama dari barisan geometri. Sedangkan deret geometri tak terhingga merupakan penjumlahan bilangan dengan perbandingan yang menuju tak terhingga.

Dapat juga diartikan bahwa deret geometri tak terhingga adalah jumlah suku-suku barisan geometri sampai dengan suku ke-n, yaitu n → ∞. Deret geometri tak hingga dapat dibedakan menjadi dua jenis, yaitu deret geometri yang tidak sampai konvergen dan juga divergen.

Rumus Mencari Rasio (r)

Rasio adalah nilai perbandingan barisan geometri antara dua suku yang berurutan. Rasio dilambangkan dengan r yang dinyatakan dengan:

Rumus mencari suku ke-n (Un)

Jika kamu₁kamu₂kamu₃…, kamu_N adalah susunan suku-suku barisan geometri yang nilainya adalah kamu₁ = a dan r adalah rasio. Sehingga suku ke-n dapat dinyatakan dengan persamaan di bawah ini:

dimana n adalah bilangan asli mulai dari 1, 2, 3, dan seterusnya

Rumus untuk Menemukan Sn

Deret geometri tak terhingga dapat dilambangkan dengan S_∞. Sehingga secara matematis deret geometri tidak terhingga S_∞ dapat dirumuskan dengan persamaan berikut:

S_∞ = U₁ +U₂ +U₃ + … + U_N

Rumus untuk mencari deret geometri atau jumlah deret geometri bergantung pada apakah deret geometri tersebut divergen atau konvergen. Berikut penjelasannya.

Deret Geometri Tak Terbatas Konvergen dan Divergen

Berdasarkan nilai perbandingan atau perbandingannya, deret geometri tak hingga dapat dibedakan menjadi dua jenis, yaitu deret geometri tak hingga konvergen dan deret tak hingga divergen.

1. Seri Geometri Konvergen Tak Terbatas

Konvergen berarti tidak menyebar atau konvergen. Arti deret geometri tak terhingga yang konvergen adalah barisan geometri yang memiliki limit bilangan. Deret geometri dikatakan konvergen tak terhingga bergantung pada nilai rasionya.

Rasio yang berlaku untuk deret geometri tak hingga yang konvergen adalah antara -1 dan 1, yaitu -1 < r < 1 atau dapat juga ditulis sebagai nilai mutlak r kurang dari 1, | r | < 1 dengan nilai r ≠ 0. Sehingga berlaku untuk deret geometri tak terhingga yang konvergen pada persamaan berikut:

Nilai bilangan pada deret geometri tak hingga yang konvergen akan semakin kecil sehingga dapat dihitung banyaknya deret geometri. Sebagai contoh di bawah ini adalah deret geometri tak hingga yang konvergen:

6 + 2 + 2/3 + 2/9 + 2/ 27 + …

Nilai barisan geometri di atas semakin mengecil sehingga ujung-ujungnya akan semakin mendekati 0, tetapi tidak sama dengan 0. Untuk menghitung jumlah deret bilangan geometri di atas, gunakan rumus berikut:

a = U1 = 6

r = U2/U1 = 2/6 = 1/3

Perbandingan barisan geometri di atas adalah 1/3 yang terletak antara -1 banding 1 (-1 < r < 1). Oleh karena itu deret geometri tak hingga di atas merupakan deret geometri tak hingga yang konvergen karena perbandingannya terletak antara -1 dan 1. Rumus untuk menghitung deret geometri tersebut adalah sebagai berikut:

2. Deret Geometri Divergen Tak Terhingga

Deret geometri divergen merupakan kebalikan dari deret geometri tak terhingga yang konvergen. Divergen artinya menyebar sehingga deret geometri tidak berhingga, jenis divergensi adalah deret barisan geometri yang jumlahnya tidak terbatas.

Nilai rasio dikatakan deret geometri yang menyimpang tak terhingga jika r < -1 or r > 1. Untuk deret geometri yang menyimpang tak terhingga, jumlahnya dirumuskan sebagai berikut:

Bilangan deret geometri divergen tak hingga memiliki nilai tak terhingga karena nilai pada bilangan tersebut semakin besar dan tidak dapat dihitung. Misalnya, deret geometri berikut:

2 + 6 + 18 + 54 + …

Jumlah keseluruhan tidak dapat dihitung karena nilai bilangan barisan geometri semakin besar.

Contoh Soal & Pembahasan Deret Geometri Tak Terbatas

Diketahui suatu deret geometri tak terhingga yang suku ke-2 dan ke-5 berturut-turut adalah 2 dan ¼. Jika rasio deret geometri tak terhingga positif, tentukan jumlah semua suku deret geometri tak terhingga.

Diketahui deret geometri memiliki pola

Deret geometri ini akan bernilai konvergen jika nilai y memenuhi syarat berikut.

Tentukan berapa banyak deret geometri 3 + 6 + 12 + 24 + …

Deret geometri tak terhingga adalah jumlah semua suku dalam barisan geometri hingga tak terhingga. Jumlah total suku-suku barisan geometri ini ditentukan oleh apakah deret geometri tersebut konvergen atau divergen. Untuk deret geometri divergen, jumlah deretnya tak terhingga.