PusatDapodik
Home Guru Pembelajaran Bilangan Kompleks: Pengertian, Operasi, Contoh Soal

Bilangan Kompleks: Pengertian, Operasi, Contoh Soal

Bilangan Kompleks Pengertian Operasi Contoh Soal

Bilangan kompleks merupakan bilangan yang mungkin cukup asing bagi sebagian orang. Bilangan kompleks terdiri dari bilangan real yang biasa digunakan dalam kehidupan sehari-hari dan bilangan imajiner yang hanya diterapkan pada beberapa bidang.

Definisi Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks terdiri dari penjumlahan atau pengurangan bilangan real dan bilangan imajiner yang ditandai dengan notasi j.

Bilangan kompleks = (bilangan real) + j (bagian imajiner)

Bilangan Kompleks Pengertian Operasi Contoh Soal
Gambar 1. Bilangan Kompleks

Misalnya penulisan bilangan kompleks adalah 5 + j3 dimana 5 adalah bagian real sedangkan 3 adalah bagian imajiner. Penjelasan tentang bilangan real dan bilangan imajiner akan dijelaskan pada bagian di bawah ini.

Grafik Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks yang ditulis y = a + bj dapat disingkat dengan pasangan terurut (a,b). Sehingga bilangan kompleks juga dapat ditulis dalam bidang datar seperti koordinat titik pada sistem koordinat kartesius.

Bidang kompleks atau bidang Argand adalah bidang yang digunakan untuk menggambarkan bilangan kompleks.

1677631427 678 Bilangan Kompleks Pengertian Operasi Contoh Soal
Gambar 2. Bidang Kompleks

Jadi jika ada bilangan kompleks y = 4 + 6j, maka bilangan 4 adalah bilangan real positif yang terletak di kuadran I sedangkan 6 adalah bilangan imajiner positif. Jika grafik dibuat maka akan seperti Gambar 3 dibawah ini.

1677631427 265 Bilangan Kompleks Pengertian Operasi Contoh Soal
Gambar 3. Grafik Bilangan Kompleks

Seperti koordinat Cartesian, grafik bidang kompleks juga dibagi berdasarkan area atau kuadran. Kuadran pada bidang kompleks dibagi menjadi empat kuadran berdasarkan letak sudutnya.

  • Kuadran I berada pada sudut 0 hingga 90⁰
  • Kuadran II berada pada sudut 90⁰ hingga 180⁰
  • Kuadran III berada pada sudut 180⁰ hingga 270⁰
  • Kuadran IV berada pada sudut 270⁰ hingga 360⁰

Contoh Penerapan Bilangan Kompleks

Penerapan bilangan kompleks banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari seperti dalam bidang fisika teknik. Ada banyak aplikasi bilangan kompleks untuk bidang fisika modern seperti mekanika kuantum. Selain itu, bilangan kompleks juga bermanfaat dalam bidang pengolahan digital.

Bilangan Nyata

Bilangan real adalah sistem bilangan yang umum digunakan dalam kegiatan sehari-hari. Bilangan real terdiri dari bilangan rasional dan bilangan irasional atau irasional. Bilangan real disimbolkan dengan notasi R yang meliputi bilangan bulat, bilangan asli, bilangan pecahan dan sebagainya.

Bilangan Imajiner

Bilangan imajiner dapat dikatakan sebagai bilangan yang nilai teoritisnya tidak ada karena merupakan akar kuadrat dari bilangan negatif. Misalnya, bilangan imajiner adalah √-2, √-3, dan √-4.

Secara teoritis, bilangan negatif tidak dapat memiliki nilai akar kuadrat karena tidak ada bilangan yang bila dipangkatkan dua hasilnya negatif. Misalnya angka 2 dan -2 jika dipangkatkan menjadi nilai kuadrat akan menjadi positif 4.

Oleh karena itu √-a tidak dapat dituliskan sebagai bilangan biasa, karena tidak ada bilangan real yang memenuhi bilangan tersebut. Bilangan imajiner dapat ditulis sebagai:

-a = -1xa

Misalnya:

1677631427 450 Bilangan Kompleks Pengertian Operasi Contoh Soal

Angka √-1 masih belum bisa dioperasikan seperti bilangan real karena merupakan bilangan imajiner. Oleh karena itu bilangan √-1 dapat dilambangkan dengan “j” sehingga bilangan imajiner 2√-1 dapat dilambangkan dengan j2.

Dengan menggunakan notasi pengganti berupa huruf “j” maka penulisan akan lebih rapi.

Operasi Bilangan Kompleks

  1. Operasi Penambahan dan Pengurangan

Operasi penjumlahan dan pengurangan pada bilangan kompleks sama dengan operasi penjumlahan dan pengurangan aljabar. Caranya adalah dengan mengoperasikan bilangan yang nyata dan kemudian bagian imajinernya dijumlahkan atau dikurangkan satu sama lain.

Contoh:

Penjumlahan (3 – j2) + (4 + j5)
= (3 + 4) + j(-2 + 5)
= 7 + j3

Pengurangan (3 – j2) – (4 + j5)
= 3 – j2 – 4 – j5
= (3 – 4) + j (– 2 – 5)
= -1 – j7

Secara umum, rumus berikut berlaku untuk penjumlahan dan pengurangan:

(g + jh) + (i + jk) = (g + i) + j (h + k)
(g + jh) – (i + jk) = (g – i) + j (h – k)

  1. Operasi Perkalian

Operasi perkalian pada bilangan kompleks memiliki sifat distributif perkalian seperti pada bilangan real. Jika ada lebih dari dua faktor yang dikalikan, maka setiap faktor dikalikan secara bertahap.

(2 – j5) (1 – j2) (3 + j4)

= (2 – j4 – j5 + j²10) (3 + j4)

= (2 – j9 – 10) (3 + j4)

= (-8 – j9) (3 + j4)

= (-24 – j24 – j27 – j²36)

= (-24 – j51 + 36) (ingat: j² = -1)

= (12 – j51)

Dalam kasus khusus, perkalian bilangan kompleks tidak menghasilkan suku j atau menghasilkan bilangan real. Perkalian bilangan kompleks yang menghasilkan bilangan real disebut bilangan konjugat.

Dua bilangan kompleks konjugasi yang dikalikan akan selalu menghasilkan bilangan real. Berikut persamaannya:

Konjugasi bilangan kompleks: (c + d) (c – d) = c² – d²

Contoh:

(6 – j8) (6 + j8)

= 36 – (j8)²

= 36 – j²8²

= 36 + 8² (j² = -1)

= 36 + 64

= 100

  1. Operasi Divisi

Pembagian bilangan kompleks hanya dapat dilakukan jika penyebutnya adalah bilangan real. Oleh karena itu, jika soal pembagian bilangan kompleks memiliki penyebut bilangan kompleks, maka penyebutnya harus dikalikan dengan bilangan kompleks konjugatnya sehingga berubah menjadi bilangan real.

Contoh:

1677631427 698 Bilangan Kompleks Pengertian Operasi Contoh Soal

Sedangkan jika penyebutnya adalah bilangan kompleks, maka harus dikalikan dengan konjugasinya untuk menjadi bilangan real.

1677631427 451 Bilangan Kompleks Pengertian Operasi Contoh Soal

Contoh Soal Bilangan Kompleks

Buatlah menjadi bentuk grafik bilangan kompleks y = -6 – j2

Diskusi

Menjawab:

Bilangan -6 merupakan bilangan negatif riil sedangkan -2 bilangan imajiner negatif sehingga terletak pada kuadran III. Jika dibuat grafik maka akan seperti gambar di bawah ini.

1677631427 411 Bilangan Kompleks Pengertian Operasi Contoh Soal

Tentukan berapa hasil penjumlahan dan pengurangan dari bilangan-bilangan di bawah ini

x1 = 5 + j4 dan x2 = 2 – j3

A. x1 + x2
B. x1 – x2

Diskusi

Menjawab:

A. x1 + x2

= (5 + j4) + (2 – j3)

= (5 + 2) + j (4 – 3)

= 7 + j (j1 bisa ditulis dengan notasi j saja)

B. x1 – x2

= (5 + j4) – (2 – j3)

= (5 – 2) + j(4 + 3)

= 3 + j7

Kesimpulan

Bilangan kompleks terdiri dari bilangan real dan bilangan imajiner yang dihubungkan dengan notasi positif (+) dan negatif (-). Bilangan kompleks banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari seperti dalam bidang fisika dan teknik digital.

mejakelas.com

Comment
Share:

Ad