Materi Transformasi Geometri Rumus, Jenis: Translasi, Refleksi, Rotasi & Dilatasi

- Penulis

Senin, 13 Februari 2023 - 23:56 WIB

facebook twitter whatsapp telegram line copy

URL berhasil dicopy

facebook icon twitter icon whatsapp icon telegram icon line icon copy

URL berhasil dicopy

Materi Transformasi Geometri Rumus, Jenis Translasi, Refleksi, Rotasi & Dilatasi

Hai Sobat, sebelum berangkat sekolah, pasti kamu bercermin dulu kan? Tahukah kamu jika pada cermin berlaku peristiwa refleksi atau pemantulan, lho. Jarak antara bayangan dan cermin pasti akan sama dengan jarakmu dan cermin. Tidak percaya, cobalah untuk menjauh dari cermin, pasti bayangan yang terlihat akan semakin kecil. Nah, di dalam Matematika, peristiwa refleksi ini termasuk salah satu transformasi geometri. Lalu, apa yang dimaksud transformasi geometri? Daripada penasaran, yuk simak selengkapnya!

Pengertian Transformasi Geometri

Transformasi berarti perubahan dan geometri berkaitan dengan suatu bangun, garis, titik, dan pengukurannya. Transformasi geometri adalah perubahan posisi dan ukuran suatu benda atau objek pada bidang geometri seperti garis, titik, maupun kurva.

Oleh karena berkaitan dengan garis dan titik, maka transformasi geometri ini bisa dituliskan dalam bentuk koordinat Cartesius maupun matriks.

Contoh transformasi geometri dalam kehidupan sehari-hari adalah saat kamu bercermin dan bayanganmu terlihat jelas pada cermin tersebut.

Jenis-Jenis Transformasi Geometri

Transformasi geometri dibagi menjadi empat jenis, yaitu translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi. Apa perbedaan keempat jenis transformasi tersebut? Berikut ini ulasannya!

Translasi

Translasi adalah perpindahan posisi suatu objek. Jika dinyatakan dalam koordinat Cartesius, translasi merupakan perpindahan titik-titik koordinat suatu objek ke arah dan jarak tertentu. Pada peristiwa translasi ini, ukuran objek tidak mengalami perubahan ya.

Persamaan umum translasi

Jika titik P yang memiliki koordinat (x, y) ditranslasikan sejauh (a, b), akan dihasilkan titik P’ dengan koordinat (x’, y’). Secara matematis, koordinat akhir pada proses translasi dinyatakan sebagai berikut.

1676305534 942 Materi Transformasi Geometri Rumus Jenis Translasi Refleksi Rotasi Dilatasi.webp

Dengan :

P(x, y) = koordinat titik awalnya;

a = pergeseran pada sumbu-x;

b = pergeseran pada sumbu-y; dan

P((x+a), (y+b)) = koordinat akhir setelah pergeseran.

Contoh translasi

Jika pergeseran mengarah ke sumbu-x positif atau sumbu-y positif, maka pergeserannya bertanda positif. Sebaliknya, jika pergeserannya mengarah ke sumbu-x negatif atau sumbu-x negatif, maka pergeserannya bertanda negatif.

Adapun contoh translasi bisa kamu lihat pada gambar berikut.

1676305535 556 Materi Transformasi Geometri Rumus Jenis Translasi Refleksi Rotasi Dilatasi.webp

Gambar di atas menunjukkan bahwa suatu bangun persegi ABCD mengalami translasi atau pergeseran hingga berada di posisi persegi A’B’C’D’. Lalu, berapakah pergeseran atau perpindahan bangunnya? Untuk tahu jumlah pergeserannya, coba hitung jarak satuan antara bangun ABCD dan A’B’C’D ke arah sumbu-x dan sumbu-y.

Dari hasil pengamatan, diperoleh bahwa bangun persegi ABCD bergeser 5 satuan ke arah sumbu-x positif (a = 5) dan 5 satuan ke arah sumbu-y negatif (b = -5).

Setelah tahu pergeserannya, tentukan dahulu koordinat awal setiap titik pada persegi seperti berikut.

  • Koordinat A = (-3,4)
  • Koordinat B = (-1, 4)
  • Koordinat C = (-3, 2)
  • Koordinat D = (-1, 2)

Terakhir, tentukan koordinat akhir persegi tersebut menggunakan persamaan translasi.

Koordinat akhir bangun persegi A’B’C’D’.

Koordinat akhir bangun persegi A’B’C’D’

Ternyata, diperoleh koordinat akhir yang sama kan dengan gambar? Sebenarnya, kamu bisa langsung mengetahui koordinat akhir melalui gambarnya. Namun, pada kesempatan ini Quipper Blog ingin menunjukkan aplikasi persamaan translasi pada soal. Nah, jika kamu menjumpai soal-soal translasi, gunakan persamaan tersebut untuk menentukan titik koordinat akhir suatu objek.

Refleksi

Refleksi atau pencerminan adalah perpindahan titik suatu objek pada bidang sesuai dengan sifat pembentukan bayangan pada cermin datar. Pada prinsipnya, refleksi hampir sama dengan translasi, yaitu pergeseran. Hanya saja, pada refleksi memiliki sifat-sifat tertentu sedemikian sehingga posisi akhir objeknya merupakan hasil pencerminan objek awalnya.

Sifat-sifat refleksi

Oleh karena pembentukan bayangan pada refleksi sama dengan pembentukan bayangan cermin, maka sifat-sifatnya pun juga sama dengan sifat-sifat bayangan cermin. Adapun sifat-sifat refleksi atau pencerminan adalah sebagai berikut.

  1. Jarak antara titik awal objek ke cermin sama dengan jarak titik akhir objek ke cermin.
  2. Garis penghubung antara objek awal dan akhirnya selalu tegak lurus cermin. Jika dicerminkan terhadap sumbu-x, maka garis penghubungnya tegak lurus terhadap sumbu-x. Jika dicerminkan terhadap sumbu-y, garis penghubungnya juga tegak lurus terhadap sumbu-y.
  3. Sumbu-x atau sumbu-y dianalogikan sebagai cermin atau pusat refleksi.

Persamaan umum refleksi

Refleksi bisa dilakukan terhadap sumbu-x maupun sumbu-y. Pada refleksi ini, sumbu-x atau sumbu-y bisa dianalogikan sebagai cermin. Persamaan umum refleksi dinyatakan sebagai berikut.

Baca Juga :  Perbedaan Kalimat Langsung dan Tidak Langsung + Contoh
Refleksi terhadap sumbu-x

Jika direfleksikan terhadap sumbu-x, maka koordinat y’ merupakan lawan dari koordinat y dengan koordinat x tetap. Secara matematis, dinyatakan sebagai berikut.

Refleksi terhadap sumbu-x

Dengan :

P(x, y) = titik koordinat awal

P’(x, -y) = titik koordinat akhir

Mx = matriks pencerminan terhadap sumbu-x

Refleksi terhadap sumbu-y

Jika direfleksikan terhadap sumbu-y, maka koordinat x’ merupakan lawan dari koordinat x dengan koordinat y tetap. Secara matematis, dinyatakan sebagai berikut.

Refleksi terhadap sumbu-y

Dengan :

P(x, y) = titik koordinat awal

P’(-x, y) = titik koordinat akhir

My = matriks pencerminan terhadap sumbu-y

Selain direfleksikan terhadap sumbu-x dan sumbu-y, suatu objek juga bisa direfleksikan terhadap garis, meliputi refleksi terhadap garis y = x, garis y = -x, garis x = h, dan garis y = k. Berikut ini pembahasannya.

Refleksi terhadap garis y = x

Jika suatu titik P dengan koordinat (x, y) direfleksikan terhadap garis y = x akan dihasilkan koordinat P’ (y, x). Perhatikan gambar berikut.

perthatikan gambar Refleksi terhadap garis y = x
Refleksi terhadap garis y = -x

Jika suatu titik P dengan koordinat (x, y) direfleksikan terhadap garis y = -x akan dihasilkan koordinat P’ (-y, -x). Adapun contoh refleksi terhadap garis y = -x bisa kamu lihat pada contoh berikut.

1676305538 727 Materi Transformasi Geometri Rumus Jenis Translasi Refleksi Rotasi Dilatasi.webp
Refleksi terhadap garis x = h

Jika titik P dengan koordinat (x, y) direfleksikan terhadap garis x = h akan dihasilkan koordinat P’ ((2h – x), y). Perhatikan gambar berikut.

1676305538 355 Materi Transformasi Geometri Rumus Jenis Translasi Refleksi Rotasi Dilatasi.webp
Refleksi terhadap garis y = k

Refleksi titik P (x, y) terhadap garis y = x akan menghasilkan koordinat P’ (x, (2k – y)). Perhatikan gambar refleksi berikut.

Refleksi terhadap garis y = k

Contoh refleksi

Berikut ini merupakan contoh segitiga siku-siku ABC yang direfleksikan terhadap sumbu-y. Artinya, sumbu-y dianggap sebagai cermin atau pusat refleksinya.

Contoh refleksi

Jika dicerminkan terhadap sumbu-y, maka koordinat (x, y) menjadi (-x, y). Untuk membuktikannya, gunakan persamaan refleksi seperti berikut.

1676305539 831 Materi Transformasi Geometri Rumus Jenis Translasi Refleksi Rotasi Dilatasi.webp

Koordinat titik A = (-4, 4)

1676305539 625 Materi Transformasi Geometri Rumus Jenis Translasi Refleksi Rotasi Dilatasi.webp

Koordinat titik B = (-4, 1)

Koordinat titik B

Koordinat titik C = (-2, 1)

Koordinat titik C = (-2, 1)

Hasil yang diperoleh dari persamaan di atas sesuai dengan hasil pencerminan pada koordinat Cartesius, kan?

Rotasi

Rotasi identik dengan perputaran suatu benda. Sebenarnya, apa rotasi dalam Matematika itu? Rotasi adalah perpindahan titik-titik suatu objek pada bidang geometri dengan cara memutarnya sejauh sudut α.

Oleh karena rotasi termasuk perpindahan, maka arah rotasi mempengaruhi tanda sudutnya. Jika arah rotasi searah dengan putaran jarum jam, maka sudutnya bertanda negatif.

Sementara itu, jika arah rotasi berlawanan dengan arah putaran jarum jam, maka sudutnya bertanda negatif.

Secara matematis, rotasi dilambanganya sebagai R(P, α), dengan P = pusat rotasi dan α = besarnya sudut rotasi.

Secara umum, rotasi dibagi menjadi dua, yaitu sebagai berikut.

Rotasi terhadap titik pusat (0, 0)

Rotasi terhadap titik pusat (0, 0) bisa kamu lihat pada contoh berikut.

1676305540 6 Materi Transformasi Geometri Rumus Jenis Translasi Refleksi Rotasi Dilatasi.webp

Gambar di atas menunjukkan bahwa titik K dirotasi sejauh α melalui titik pusat (0, 0), hingga berada di posisi K’. Secara matematis, persamaan rotasi yang melalui titik pusat dinyatakan sebagai berikut.

persamaan rotasi yang melalui titik pusat dinyatakan sebagai berikut

Untuk memudahkanmu dalam menentukan titik bayangan objek yang dirotasi terhadap pusat (0,0), gunakan persamaan matriks berikut.

menentukan titik bayangan objek yang dirotasi terhadap pusat (0,0), gunakan persamaan matriks berikut

Untuk lebih jelasnya, simak contoh berikut.

Jika titik M berada di koordinat (4, -2), lalu titik tersebut dirotasi berlawanan dengan arah putaran jarum jam sejauh 90o terhadap titik pusat (0, 0), tentukan letak bayangannya!

Pembahasan :

Titik M dirotasi sejauh 90o berlawanan dengan arah putaran jarum jam terhadap titik pusat (0, 0). Secara matematis, bisa dinyatakan sebagai berikut.

1676305541 34 Materi Transformasi Geometri Rumus Jenis Translasi Refleksi Rotasi Dilatasi.webp

Tugas Sobat adalah menentukan koordinat (x’, y’). Koordinat bayangannya bisa kamu tentukan dengan persamaan berikut.

1676305542 785 Materi Transformasi Geometri Rumus Jenis Translasi Refleksi Rotasi Dilatasi.webp

Jadi koordinat M’ = (2, 4).

Rotasi terhadap titik pusat (a, b)

Rotasi tidak harus berpusat di titik (0, 0). Berikut ini merupakan contoh titik yang dirotasi dengan pusat (a, b).

1676305542 785 Materi Transformasi Geometri Rumus Jenis Translasi Refleksi Rotasi Dilatasi.webp

Gambar di atas menunjukkan bahwa titik K dirotasi sejauh α melalui titik pusat (2, 1), hingga berada di posisi K’. Secara matematis, persamaan rotasi yang melalui titik pusat (a, b) dinyatakan sebagai berikut.

Baca Juga :  Pengertian Persamaan Garis Lurus & Singgung: Rumus dan Contoh Soal
persamaan rotasi yang melalui titik pusat (a, b) dinyatakan sebagai berikut

Untuk memudahkanmu dalam menentukan titik bayangan objek yang dirotasi terhadap pusat (a, b), gunakan persamaan matriks berikut.

Untuk memudahkanmu dalam menentukan titik bayangan objek yang dirotasi terhadap pusat (a, b),

Dilatasi

Dilatasi adalah perpindahan titik-titik suatu objek terhadap titik tertentu berdasarkan faktor pengali. Oleh karena ada faktor pengali, maka peristiwa dilatasi ini bisa mengakibatkan perubahan ukuran objek, misalnya diperbesar, diperkecil, atau tetap. Adapun hubungan antara faktor pengali dan ukuran benda adalah sebagai berikut.

  • Faktor pengali (k > 1) akan mengakibatkan ukuran objek diperbesar dan searah dengan sudut dilatasi objek awalnya.
  • Faktor pengali (k = 1) tidak mengakibatkan perubahan ukuran atau posisi objek.
  • Faktor pengali (0 < k < 1) mengakibatkan ukuran objek diperkecil dan searah dengan sudut dilatasi awalnya.
  • Faktor pengali (-1 < k < 0) mengakibatkan ukuran objek diperkecil dan berlawanan dengan sudut dilatasi awalnya.
  • Faktor pengali (k = -1) tidak mengakibatkan perubahan ukuran objek, namun arahnya berlawanan dengan sudut dilatasi awalnya.
  • Faktor pengali (k < – 1) mengakibatkan ukuran objek diperbesar dan berlawanan dengan sudut dilatasi awalnya.

Secara umum, dilatasi dibagi menjadi dua, yaitu sebagai berikut.

Dilatasi terhadap titik pusat (0, 0)

Jika suatu titik M (x, y) mengalami dilatasi terhadap titik pusat (0, 0) dengan faktor pengali k, maka akan dihasilkan koordinat M’ (x’. y’). Secara matematis, bisa dinyatakan sebagai berikut.

Dilatasi terhadap titik pusat (0, 0)

Titik koordinat M’(x’, y’) bisa ditentukan dengan rumus berikut.

Titik koordinat M’(x’, y’) bisa ditentukan dengan rumus berikut.

Contoh dilatasi terhadap titik pusat (0, 0) adalah sebagai berikut.

Diketahui gambar persegi ABCD pada koordinat Cartesius seperti berikut.

1676305544 692 Materi Transformasi Geometri Rumus Jenis Translasi Refleksi Rotasi Dilatasi.webp

Jika bangun tersebut didilatasi terhadap titik pusat (0,0) dan faktor pengali -2, tentukan hasil bayangannya!

Pembahasan:

Mula-mula, tentukan dahulu koordinat akhir setiap titik pada bangun setelah didilatasi.

Titik A’ → A (1, 2)
Titik A’ → A (1, 2)

Dengan demikian, A’ (-2, -4).

Titik B’ → B (2, 2)
Titik B’ → B (2, 2)

Dengan demikian, B’ (-4, -4).

Titik C’ → C (1, 1)
1676305545 709 Materi Transformasi Geometri Rumus Jenis Translasi Refleksi Rotasi Dilatasi.webp

Dengan demikian, C’ (-2, -2).

Titik D’ → D (2, 1)
Titik D’ → D (2, 1)

Dengan demikian, D’ (-4, -2)

Jika digambarkan pada koordinat Cartesius, menjadi seperti berikut.

1676305545 36 Materi Transformasi Geometri Rumus Jenis Translasi Refleksi Rotasi Dilatasi.webp

Di soal tertulis bahwa faktor pengalinya = -2. Artinya, ukuran objek akan semakin besar dan arahnya berlawanan dengan sudut dilatasi awalnya. Bagaimana tahu jika arahnya berlawanan? Coba perhatikan kembali letak titik A’, B’, C’, dan D’. Letak keempat titik itu berlawanan dengan letak titik awalnya, yaitu A, B, C, dan D.

Dilatasi terhadap titik pusat (a, b)

Jika dilatasi titik koordinat M (x, y) dilakukan terhadap titik pusat (a, b) dengan faktor pengali k, maka akan dihasilkan koordinat M’ (x’. y’). Secara matematis, bisa dinyatakan sebagai berikut.

Dilatasi terhadap titik pusat (a, b)

Titik koordinat M’(x’, y’) bisa ditentukan dengan rumus berikut.

Titik koordinat M’(x’, y’) bisa ditentukan dengan rumus berikut

Ukuran dan bentuk objek setelah didilatasi bergantung sepenuhnya pada faktor pengali, ya.

Contoh Soal Transformasi Geometri

Untuk mengasah pemahamanmu, yuk simak contoh soal berikut.

Contoh Soal 1

Jika titik G (2, 5) dicerminkan terhadap garis y = -x, tentukan letak bayangan titik G!

Pembahasan:

Secara matematis, pencerminan titik G bisa dinyatakan sebagai berikut.

1676305546 801 Materi Transformasi Geometri Rumus Jenis Translasi Refleksi Rotasi Dilatasi.webp

Untuk menentukan koordinat G’, gunakan persamaan berikut.

Untuk menentukan koordinat G’, gunakan persamaan berikut.

Jadi, koordinat G’ = (-5, -2).

Contoh Soal 2

Diketahui gambar titik H seperti berikut.

Contoh Soal 2 Transformasi Geometri

Jika titik H dirotasikan sejauh 180o terhadap titik pusat (0, 0), gambarkan posisi akhir titik H’!

Pembahasan:

Berdasarkan gambar pada soal, titik H berada di koordinat (1, 3). Dengan demikian:

Berdasarkan gambar pada soal, titik H berada di koordinat (1, 3). Dengan demikian

Tugas Sobat adalah menentukan koordinat (x’, y’). Koordinat bayangannya bisa kamu tentukan dengan persamaan berikut.

menentukan koordinat (x’, y’). Koordinat bayangannya bisa kamu tentukan dengan persamaan berikut

Diperoleh letak koordinat titik H’ (-1, -3). Jika digambarkan, menjadi seperti berikut.

Diperoleh letak koordinat titik H’ (-1, -3). Jika digambarkan, menjadi seperti berikut.

Contoh Soal 3

Titik B (2, -1) didilatasi terhadap pusat (4, 2). Jika faktor pengalinya 2, tentukan koordinat akhir titik B!

Pembahasan:

Secara matematis, titik B dinyatakan sebagai berikut.

Secara matematis, titik B dinyatakan sebagai berikut

Titik koordinat B’(x’, y’) bisa ditentukan dengan rumus berikut.

Titik koordinat B’(x’, y’) bisa ditentukan dengan rumus berikut.

Jadi, koordinat B’ = (0, -4)

Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bermanfaat, ya. Untuk mendapatkan materi lengkapnya, yuk buruan gabung Quipper Video. Salam Quipper!

www.quipper.com

Berita Terkait

Untuk Jenjang SMA Tahun Depan 2024/2025 Sudah tidak Ada Lagi Penjurusan, Ini Kebijakan Baru Dari Nadiem makarim
Pasti dari Jokowi, Tahun Depan tidak Ada Perbedaan Antara PNS dan PPPK, Semua Akan Satu Nama Menjadi ASN
Contoh Doa Penutup MPLS 2024 Dalam Bahasa Indonesia
Contoh Materi MPLS SMP Kurikulum Merdeka Tahun Anggaran 2024/2025
Implementasi Pembelajaran Sosial dan Emosional di Kelas dan Sekolah
Contoh Modul Ajar Kurikulum Merdeka PAUD-TK Terbaru 2024
6 Daftar Kegiatan Ketika MPLS Bersama Peserta Didik Baru, Jangan Sampai Terlewatkan !
Ada Perlakuan Khusus untuk PPPK 2024, Semua Guru Akan Diberi Tunjangan Lebih Hingga 3 Juta
Berita ini 1 kali dibaca

Berita Terkait

Sabtu, 20 Juli 2024 - 10:33 WIB

Untuk Jenjang SMA Tahun Depan 2024/2025 Sudah tidak Ada Lagi Penjurusan, Ini Kebijakan Baru Dari Nadiem makarim

Jumat, 19 Juli 2024 - 10:42 WIB

Pasti dari Jokowi, Tahun Depan tidak Ada Perbedaan Antara PNS dan PPPK, Semua Akan Satu Nama Menjadi ASN

Jumat, 12 Juli 2024 - 21:32 WIB

Contoh Doa Penutup MPLS 2024 Dalam Bahasa Indonesia

Sabtu, 6 Juli 2024 - 11:26 WIB

Contoh Materi MPLS SMP Kurikulum Merdeka Tahun Anggaran 2024/2025

Senin, 1 Juli 2024 - 16:57 WIB

Implementasi Pembelajaran Sosial dan Emosional di Kelas dan Sekolah

Berita Terbaru