sin 2x = 2 sin x cos x
cos 2x = cos²x – sin²x
ton 2x = 2 ton x / (1 – ton²x)
Persamaan ini sangat berguna dalam perhitungan trigonometri pada sudut ganda. Dengan menggunakan identitas sudut rangkap, kita dapat dengan mudah menghitung nilai fungsi trigonometri pada sudut rangkap.
Identitas Banyak Sudut
Identitas sudut rangkap adalah identitas trigonometri yang menghubungkan fungsi trigonometri ke sudut yang merupakan jumlah atau perbedaan dari dua sudut. Ada empat persamaan identitas sudut rangkap, yaitu:
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β
Persamaan ini sangat berguna dalam perhitungan trigonometri pada banyak sudut. Dengan menggunakan identitas sudut rangkap, kita dapat dengan mudah menghitung nilai fungsi trigonometri untuk suatu sudut yang merupakan jumlah atau selisih dua sudut.
Identitas Setengah Sudut
Identitas setengah sudut adalah identitas trigonometri yang menghubungkan fungsi trigonometri pada setengah sudut dengan fungsi trigonometri pada sudut semula. Ada dua persamaan identitas setengah sudut, yaitu:
sin (x/2) = ±√[(1-cos x)/2]
cos (x/2) = ±√[(1+cos x)/2]
Persamaan ini sangat berguna dalam perhitungan trigonometri setengah sudut. Dengan menggunakan identitas setengah sudut, kita dapat dengan mudah menghitung nilai fungsi trigonometri pada setengah sudut.
Persamaan Trigonometri
Penerapan Identitas Trigonometri pada Contoh Soal
Identitas trigonometri sering digunakan dalam perhitungan trigonometri di berbagai bidang, seperti matematika, fisika, dan teknik. Contoh soal tentang identitas trigonometri sering melibatkan persamaan trigonometri yang harus diselesaikan dengan menggunakan identitas trigonometri.
Masalah Identitas Trigonometri
Berikut ini adalah tiga contoh identitas trigonometri dan pembahasannya:
1. Buktikan identitas trigonometri sin^2(x) + cos^2(x) = 1 benar untuk setiap nilai x.
Diskusi:
Kita dapat menggunakan identitas Pythagoras pada segitiga siku-siku dengan sudut x sebagai sudut lancip. Dalam segitiga, sin(x) = a/c dan cos(x) = b/c. Oleh karena itu, sin^2(x) + cos^2(x) = (a/c)^2 + (b/c)^2 = (a^2 + b^2)/c^2 = 1, karena a ^2 + b^2 = c^2 dengan identitas pythagoras. Oleh karena itu, identitas trigonometri sin^2(x) + cos^2(x) = 1 benar untuk semua nilai x.
2. Buktikan identitas trigonometri 1 + tan^2(x) = sec^2(x) benar untuk setiap nilai x.
Diskusi:
Kita dapat mengambil identitas trigonometri cos^2(x) + sin^2(x) = 1 dan membagi kedua ruas dengan cos^2(x). Jadi, kita dapat memperoleh identitas trigonometri yang mengandung tan(x) dan sec(x). Secara khusus, kita dapat memperoleh 1 + tan^2(x) / cos^2(x) = 1 / cos^2(x), yang dapat disederhanakan menjadi 1 + tan^2(x) = sec^2(x ) menurut definisi sec(x) = 1/cos(x). Oleh karena itu, identitas trigonometri 1 + tan^2(x) = sec^2(x) benar untuk semua nilai x.
3. Buktikan identitas trigonometri sin(x) cos(x) = (1/2) sin(2x) benar untuk setiap nilai x.
Diskusi:
Kita dapat mengambil identitas trigonometri sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) dan membagi kedua ruas dengan 2. Dengan cara ini, kita dapat membuat identitas trigonometri yang mengandung sin(x) dan cos(x) dalam bentuk sin(2x) ) / 2 = sin(x) cos(x). Oleh karena itu, identitas trigonometri sin(x) cos(x) = (1/2) sin(2x) benar untuk semua nilai x.
Kesimpulan
Identitas trigonometri adalah persamaan yang menghubungkan fungsi trigonometri pada sudut tertentu. Ada beberapa jenis identitas trigonometri, seperti identitas Pythagoras, identitas sudut ganda, identitas sudut ganda, dan identitas setengah sudut. Identitas trigonometri sangat berguna dalam perhitungan trigonometri di berbagai bidang, seperti matematika, fisika, dan teknik. Selain itu, grafik dan tabel identitas trigonometri juga dapat digunakan untuk memudahkan perhitungan trigonometri pada sudut tertentu.
www.bospedia.com
