- Apa itu metode induksi matematika?
A. Sebuah metode untuk memecahkan persamaan diferensial
B. Suatu metode untuk membuktikan kebenaran suatu pernyataan matematis
C. Suatu metode untuk menghitung luas suatu daerah
D. Metode untuk mengurutkan angka
Jawaban: b
Penjelasan: Metode induksi matematika adalah metode matematika yang digunakan untuk membuktikan kebenaran suatu pernyataan matematika yang berlaku untuk semua bilangan bulat positif.
- Apa langkah pertama pembuktian dengan induksi matematika?
A. Langkah induksi
B. Langkah kesimpulan
C. Langkah dasar
D. Langkah afirmasi
Jawaban: c
Penjelasan: Langkah pertama pembuktian dengan metode induksi matematika adalah langkah dasar, yaitu membuktikan kebenaran pernyataan bilangan bulat positif yang pertama.
- Apa prinsip dasar induksi matematika?
A. Jika pernyataan itu benar untuk bilangan bulat positif n, maka pernyataan itu juga benar untuk bilangan bulat positif n+1.
B. Jika pernyataan itu benar untuk bilangan bulat positif n, maka pernyataan itu juga benar untuk bilangan bulat negatif n-1.
C. Jika pernyataan itu benar untuk bilangan bulat positif n+1, maka pernyataan itu juga benar untuk bilangan bulat positif n.
D. Jika pernyataan itu benar untuk bilangan bulat negatif n, maka itu juga benar untuk bilangan bulat positif n.
Jawaban: a
Penjelasan: Prinsip dasar induksi matematika menyatakan bahwa jika suatu pernyataan benar untuk bilangan bulat positif n, maka pernyataan itu juga benar untuk bilangan bulat positif n+1.
- Apa yang dimaksud dengan induksi kuat?
A. Bentuk lain dari metode induksi matematika
B. Sebuah metode untuk memecahkan persamaan kuadrat
C. Metode untuk membuktikan teorema geometri
D. Suatu metode untuk membuktikan pernyataan matematis yang berhubungan dengan bilangan real
Jawaban: a
Penjelasan: Induksi kuat adalah bentuk lain dari metode induksi matematika yang digunakan untuk membuktikan kebenaran suatu pernyataan matematika yang berlaku untuk semua bilangan bulat positif.
- Apa yang dimaksud dengan hipotesis induksi?
A. Pernyataan yang akan dibuktikan dengan metode induksi matematika
B. Pernyataan digunakan untuk menguji kebenaran pernyataan matematika
C. Pernyataan yang tidak dapat dibuktikan dengan metode induksi matematika
D. Pernyataan yang hanya berlaku untuk bilangan bulat positif ganjil
Jawaban: a
Penjelasan: Hipotesis induksi adalah pernyataan yang akan dibuktikan dengan metode induksi matematika.
Contoh Soal Esai:
- Buktikan dengan metode induksi matematika bahwa 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2 untuk sembarang bilangan bulat positif n.
Menjawab:
Langkah dasar:
Untuk n = 1, kita memiliki 1 = 1(1+1)/2, yang benar.
Langkah induksi:
Asumsikan bahwa pernyataan itu benar untuk semua bilangan bulat positif dari 1 sampai n, yaitu 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2.
Kita ingin membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n+1, yaitu 1 + 2 + 3 + … + n + (n+1) = (n+1)(n+2)/2.
Dari hipotesis induksi, kita tahu bahwa 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2. Dengan menambahkan (n+1) pada kedua sisi persamaan, kita dapat memperoleh:
1 + 2 + 3 + … + n + (n+1) = n(n+1)/2 + (n+1)
Dengan menggunakan faktorisasi, kita dapat menyederhanakan persamaan menjadi:
1 + 2 + 3 + … + n + (n+1) = (n+1)(n+2)/2
Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk semua bilangan bulat positif n.
- Buktikan dengan induksi matematika bahwa setiap bilangan bulat positif n memiliki faktorisasi prima yang unik.
Menjawab:
Langkah dasar:
Untuk n = 1, faktorisasi primanya adalah 1, yang unik.
Langkah induksi:
Asumsikan bahwa pernyataan itu benar untuk semua bilangan bulat positif dari 1 sampai n.
Kita ingin membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n+1.
Jika n+1 adalah bilangan prima, maka faktorisasi primanya unik.
Jika n+1 bukan prima, maka n+1 dapat dinyatakan sebagai n+1 = a × b, di mana a dan b adalah bilangan bulat positif kurang dari n+1. Karena a dan b lebih kecil dari n+1, a dan b memiliki faktorisasi prima yang unik menurut hipotesis induksi. Oleh karena itu, faktorisasi prima dari n+1 dapat dinyatakan sebagai jumlah dari faktorisasi prima dari a dan b, yang juga unik menurut hipotesis induksi.
Jadi, kami telah membuktikan bahwa setiap bilangan bulat positif n memiliki faktorisasi prima yang unik.
www.bospedia.com
