Rumus Aritmatika Bertingkat Dua dan Tiga, Contoh Soal dan Pembahasan

- Penulis

Senin, 13 Februari 2023 - 12:36 WIB

facebook twitter whatsapp telegram line copy

URL berhasil dicopy

facebook icon twitter icon whatsapp icon telegram icon line icon copy

URL berhasil dicopy

Rumus Aritmatika dua dan tiga tingkat

Hai Sobat, masih ingat dengan pembahasan Blog Quipper sebelumnya tentang barisan aritmatika? Ayo, apa itu barisan aritmetika? Ya, itu benar. Barisan aritmetika adalah barisan yang selisih suku-sukunya sama. Nah, pada artikel kali ini Quipper Blog juga akan membahas tentang barisan aritmatika, tetapi aritmatika bertingkat. Jangan khawatir, bahannya mudah. Daripada penasaran, yuk simak selengkapnya!

Definisi Aritmatika Bertingkat

Deret aritmetika bertingkat adalah deret aritmetika khusus yang memiliki perbedaan variabel pada derajat pertamanyatetapi memiliki selisih tetap pada taraf ke-n, dimana n lebih besar dari 1. Contoh barisan aritmetika bertingkat adalah sebagai berikut.

2, 5, 10, 17, 26

Perhatikan urutan ini, perbedaan suku-suku pada tingkat pertama tidak tetap, bukan? Oleh karena itu, barisan tersebut dikatakan barisan aritmetika bertingkat. Lalu, kenapa disebut aritmatika bertingkat? Ikuti pembahasannya sampai akhir ya!

Jenis Aritmatika Berstratifikasi

Jenis deret aritmetika bertingkat ini dimulai dari tingkat yang paling mudah yaitu tingkat pertama sampai tingkat ke-n, dimana n bisa sampai tak terhingga. Namun pada artikel kali ini Quipper Blog hanya akan membahas aritmatika dua tingkat dan aritmatika tiga tingkat. Ingin tahu lebih banyak?

Aritmatika Dua Derajat

Aritmatika dua tingkat adalah aritmatika yang selisihnya selalu dalam barisan derajat kedua. Nah, urutan level kedua didapat dari selisih urutan level pertama.

Persamaan aritmatika dua tingkat umum

Persamaan umum aritmatika bertingkat adalah persamaan polinomial derajat kedua. Secara matematis, persamaan umum aritmatika dua tingkat adalah sebagai berikut.

Rumus Aritmatika Dua Derajat

Dengan :

kamuN = suku ke-n;

a, b = koefisien untuk mencari nilai

c = konstanta yang nilainya harus dicari

n = istilah posisi

Lalu, bagaimana cara menentukan nilai a, b, dan c? Mari ikuti langkah-langkah ini.

Pertama, buat barisan dengan n = 1, 2, 3, 4, dst, dengan mensubstitusikan nilai n = 1, 2, 3, dst ke dalam persamaan aritmatika umum dua tingkat.

Untuk n = 1

kamu1 = an + bn + c = a(1)2 + b(1) + c = a + b + c

Untuk n = 2

kamu2 = an2 + bn + c = a(2)2 + b(2) + c = 4a + 2b + c

Untuk n = 3

kamu3 = an2 + bn + c = a(3)2 + b(3) + c = 9a + 3b + c

Untuk n = 4

kamu3 = an2 + bn + c = a(4)2 + b(4) + c = 16a + 4b + c

Kemudian, susunlah suku-suku tersebut dalam bentuk deret sebagai berikut.

1676266555 435 Rumus Aritmatika Bertingkat Dua dan Tiga Contoh Soal dan Pembahasan.webp

Dari suku-suku di atas, tentukan selisih derajat pertama dan kedua sebagai berikut.

Dari suku-suku di atas, tentukan selisih derajat pertama dan kedua sebagai berikut.

Pada suku tingkat kedua, hanya diperoleh selisih tetap, yaitu 2a

Coba perhatikan suku-suku yang ada di kotak bertitik. Anda dapat membuat persamaan kesukuan SUPER “Quipper Solution” untuk mencari nilai a, b, dan c pada soal.

Contoh aritmatika dua tingkat

Lalu, bagaimana cara menentukan suku ke-n dari aritmetika dua tingkat? Perhatikan contoh berikut.

Tentukan suku ke-10 dari barisan berikut.

2, 5, 10, 17, 26, 37, …, ….

Diskusi:

Dari barisan 2, 5, 10, 17, 26, 37 terlebih dahulu tentukan selisih setiap suku pada derajat pertama.

Baca Juga :  Pengertian Sistem dan Jenis Alat Pembayaran
1676266556 602 Rumus Aritmatika Bertingkat Dua dan Tiga Contoh Soal dan Pembahasan.webp

Penjelasan di atas menunjukkan bahwa selisih setiap suku pada tingkat pertama berbeda-beda, yaitu 3, 5, 7, 9, 11. Jadi, selisih tingkat pertama tingkat pertama dapat Anda jadikan barisan aritmetika.

Dari susunan level pertama itu, apa yang bisa Anda simpulkan? Ternyata, istilah-istilah di tingkat kedua memiliki perbedaan yang tetap seperti yang dijelaskan di bawah ini.

1676266556 972 Rumus Aritmatika Bertingkat Dua dan Tiga Contoh Soal dan Pembahasan.webp

Jika diminta menentukan suku ke 10, tentu cara seperti di atas kurang efektif. Ingat, Anda memiliki banyak angka untuk dijumlahkan. Untuk memudahkan Anda menentukan suku ke-n, gunakan persamaan aritmetika umum dua tingkat. Untuk melakukannya, terlebih dahulu tentukan koefisien a, b, dan konstanta c menggunakan persamaan SUPER “Solusi Quipper” yang telah dijelaskan sebelumnya.

1676266557 649 Rumus Aritmatika Bertingkat Dua dan Tiga Contoh Soal dan Pembahasan.webp

Dengan demikian, diperoleh hubungan berikut.

a + b + c = 2 …(1)

3a + b = 3 …(2)

2a = 2 …(3)

Dari persamaan di atas, kamu bisa menentukan nilai a, b, dan c sebagai berikut.

Poin a

2a = 2

⇔ a = 1

nilai b

Substitusikan nilai a = 1 ke dalam persamaan (2)

3a + b = 3

⇔ 3(1) + b = 3

⇔b = 0

nilai c

Substitusikan nilai a dan b ke dalam persamaan (1)

a + b + c = 2

⇔ 1 + 0 + c = 2

⇔c = 1

Jadi, persamaan umum barisan 2, 5, 10, 17, 26, 37 adalah sebagai berikut.

XN = an2 +bn +c

= n2 +1

Jika Anda diminta untuk menentukan suku ke-10, hasilnya adalah:

kamuN = n2 +1

⇔ U10 = 102 +1

⇔ U10 = 101

Jadi, suku ke-10 dari barisan tersebut adalah 101.

Sampai di sini, apakah Sobat sudah paham? Jangan khawatir, masih ada satu sesi lagi yaitu aritmatika tiga tingkat. Ayo, tetap semangat!

Aritmatika Tiga Derajat

Aritmetika tiga tingkat adalah deret aritmetika yang selisih tetapnya berada pada deret derajat 3. Konsep dasar aritmatika tiga tingkat hampir sama dengan aritmatika dua tingkat. Hanya saja persamaan umum keduanya berbeda.

Persamaan aritmatika umum tiga tingkat

Persamaan aritmatika umum derajat ketiga adalah persamaan polinomial derajat ketiga. Secara matematis, persamaan aritmatika tiga tingkat umum adalah sebagai berikut.

Rumus Aritmatika Tiga Derajat

Dengan:

Un = suku ke-n

a, b, c = koefisien untuk mencari nilai

d = konstanta yang nilainya harus dicari

n = istilah posisi

Sama seperti aritmetika dua tingkat, untuk memudahkan Anda menentukan suku ke-n dari barisan aritmatika tiga tingkat, tentukan terlebih dahulu persamaan dasar dari suku pertama pada setiap tingkat deret tersebut. Persamaan tersebut berisi variabel a, b, c, dan d.

Pertama, buat barisan dengan n = 1, 2, 3, 4, dst, dengan mensubstitusikan nilai n = 1, 2, 3, dst ke dalam persamaan aritmatika umum dua tingkat.

Untuk n = 1

kamu1 = an3 + bn2 + cn + d = a(1)3 + b(1)2 + c(1) + d = a + b + c + d

Untuk n = 2

kamu2 = an3 + bn2 + cn + d = a(2)3 + b(2)2 + c(2) + d = 8a + 4b + 2c + d

Untuk n = 3

kamu3 = an3 + bn2 + cn + d = a(3)3 + b(3)2 + c(3) + d = 27a + 9b + 3c + d

Untuk n = 4

kamu4 = an3 + bn2 + cn + d = a(4)3 + b(4)2 + c(4) + d = 64a + 16b + 4c + d

Untuk n = 5

kamu5 = an3 + bn2 + cn + d = a(5)3 + b(5)2 + c(5) + d = 125a + 25b + 5c + d

Baca Juga :  Usulan Pendampingan yang Diharapkan Bagi Guru/Satuan Pendidikan dalam Penerapan 6 Kemampuan Fondasi

Untuk n = 6

kamu6 = an3 + bn2 + cn + d = a(6)3 + b(6)2 + c(6) + d = 216a + 36b + 6c + d

Kemudian, susunlah suku-suku tersebut dalam bentuk deret sebagai berikut.

1676266557 365 Rumus Aritmatika Bertingkat Dua dan Tiga Contoh Soal dan Pembahasan.webp

Urutan di atas menunjukkan bahwa perbedaan tetap diperoleh pada urutan tingkat ketiga. Persamaan suku pertama pada setiap tingkat berada di dalam tanda putus-putus. Persamaan ini adalah SUPER “Quipper Solution” untuk menentukan nilai a, b, c, dan d.

Contoh aritmatika tiga tingkat

Lalu, bagaimana cara menentukan suku ke-n dari aritmetika tiga tingkat? Perhatikan contoh berikut.

7, 10, 14, 23, 41, 72, 120

Tentukan suku ke-23 dari barisan di atas!

Diskusi :

Langkah pertama, tentukan selisih dari segi urutan tingkat pertama.

1676266558 685 Rumus Aritmatika Bertingkat Dua dan Tiga Contoh Soal dan Pembahasan.webp

Perbedaan suku di tingkat pertama berbeda. Jadikan selisih suku-suku tersebut derajat pertama dari barisan tersebut, kemudian tentukan selisih barisan kedua.

1676266558 481 Rumus Aritmatika Bertingkat Dua dan Tiga Contoh Soal dan Pembahasan.webp

Sampai level kedua, ternyata selisihnya masih beda. Jadikan selisih barisan tingkat kedua sebagai barisan orde kedua, kemudian tentukan selisihnya lagi.

1676266558 394 Rumus Aritmatika Bertingkat Dua dan Tiga Contoh Soal dan Pembahasan.webp

Rupanya, perbedaan tetap diperoleh pada tingkat ketiga. Lalu, bagaimana jika Anda diminta menentukan suku ke-23? Anda dapat menentukan suku ke-n dengan persamaan aritmatika umum tiga tingkat.

1676266559 547 Rumus Aritmatika Bertingkat Dua dan Tiga Contoh Soal dan Pembahasan.webp

Dari hubungan di atas, diperoleh persamaan berikut.

a + b + c + d = 7 …(1)

7a + 3b + c = 3 …(2)

12a + 2b = 1 …(3)

6a = 4 …(4)

Dari persamaan di atas, tentukan nilai a, b, c, dan d.

Poin a

6a = 4

⇔a = 2/3

nilai b

Substitusikan nilai a = 2/3 ke dalam persamaan (3)

12a + 2b = 1

⇔ 12(2/3) + 2b = 1

⇔ 2b = -7

⇔b = -7/2

nilai c

Substitusikan nilai a dan b ke dalam persamaan (2).

Nilai C Masukkan nilai a dan b ke dalam persamaan

bernilai

Substitusikan nilai a, b, dan c ke dalam persamaan (1).

1676266560 146 Rumus Aritmatika Bertingkat Dua dan Tiga Contoh Soal dan Pembahasan.webp

Jadi, persamaan umum barisan 7, 10, 14, 23, 41, 72, 120 adalah sebagai berikut.

1676266560 807 Rumus Aritmatika Bertingkat Dua dan Tiga Contoh Soal dan Pembahasan.webp

Selanjutnya, tentukan suku ke-23 atau U23.

1676266560 269 Rumus Aritmatika Bertingkat Dua dan Tiga Contoh Soal dan Pembahasan.webp

Jadi, suku ke-23 adalah 6.464.

Tanpa rumus barisan aritmatika tiga tingkat, Anda pasti akan kesulitan menentukan suku ke-23. Itu karena, semakin besar posisi suku, semakin banyak pula jumlah yang harus dijumlahkan. Jadi bagaimana jika Sobat ingin mencoba aritmatika empat atau lima derajat? Jangan khawatir, Anda dapat menggunakan persamaan umum berikut.

Persamaan Aritmatika Bertingkat Umum

Persamaan aritmatika bertingkat umum diklasifikasikan sebagai persamaan derajat polinomial, di mana suku tertinggi menunjukkan derajat maksimum barisan. Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel persamaan umum berikut.

Tingkat persamaan umum
1 kamuN = an + b
2 kamuN = an2 +bn +c
3 kamuN = an3 + bn2 + cn + d
4 kamuN = an4 + bn3 +cn2 + dn + e
5 kamuN = an5 + bn4 +cn3 + dn2 + en + f

Dari tabel di atas terlihat bahwa semakin besar nilai n maka semakin panjang pula langkah yang harus dilalui. Dengan cara yang sama, Anda dapat mencoba aritmatika tingkat empat atau lima.

Ternyata aritmatika bertingkat membutuhkan ketelitian dan kejelian, Sobat. Agar kamu lebih paham, sering-seringlah berlatih soal-soalnya ya.

Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bermanfaat, ya. Untuk mendapatkan materi lengkapnya, buruan gabung dengan Quipper Video. Salam Quippers!

www.quipper.com

Berita Terkait

Untuk Jenjang SMA Tahun Depan 2024/2025 Sudah tidak Ada Lagi Penjurusan, Ini Kebijakan Baru Dari Nadiem makarim
Pasti dari Jokowi, Tahun Depan tidak Ada Perbedaan Antara PNS dan PPPK, Semua Akan Satu Nama Menjadi ASN
Contoh Doa Penutup MPLS 2024 Dalam Bahasa Indonesia
Contoh Materi MPLS SMP Kurikulum Merdeka Tahun Anggaran 2024/2025
Implementasi Pembelajaran Sosial dan Emosional di Kelas dan Sekolah
Contoh Modul Ajar Kurikulum Merdeka PAUD-TK Terbaru 2024
6 Daftar Kegiatan Ketika MPLS Bersama Peserta Didik Baru, Jangan Sampai Terlewatkan !
Ada Perlakuan Khusus untuk PPPK 2024, Semua Guru Akan Diberi Tunjangan Lebih Hingga 3 Juta
Berita ini 8 kali dibaca

Berita Terkait

Sabtu, 20 Juli 2024 - 10:33 WIB

Untuk Jenjang SMA Tahun Depan 2024/2025 Sudah tidak Ada Lagi Penjurusan, Ini Kebijakan Baru Dari Nadiem makarim

Jumat, 19 Juli 2024 - 10:42 WIB

Pasti dari Jokowi, Tahun Depan tidak Ada Perbedaan Antara PNS dan PPPK, Semua Akan Satu Nama Menjadi ASN

Jumat, 12 Juli 2024 - 21:32 WIB

Contoh Doa Penutup MPLS 2024 Dalam Bahasa Indonesia

Sabtu, 6 Juli 2024 - 11:26 WIB

Contoh Materi MPLS SMP Kurikulum Merdeka Tahun Anggaran 2024/2025

Senin, 1 Juli 2024 - 16:57 WIB

Implementasi Pembelajaran Sosial dan Emosional di Kelas dan Sekolah

Berita Terbaru

Viral

Jangan Ya Dek Ya Yang Viral Di Tiktok Asli

Rabu, 24 Jul 2024 - 06:53 WIB