Identitas Trigonometri: Definisi, Grafik, Tabel, Contoh Soal

Trigonometri adalah salah satu cabang Matematika yang membahas tentang hubungan panjang sisi-sisi segitiga dengan besar sudutnya. Salah satu bahasan penting dalam trigonometri adalah identitas trigonometri yang membahas hubungan antara satu fungsi trigonometri dengan fungsi trigonometri lainnya.

Definisi Identitas Trigonometri

Kata trigonometri berasal dari kata Yunani trigonon yang berarti “tiga sudut” sedangkan metron berarti “ukuran”. Dalam trigonometri, ada tiga fungsi utama yang paling sering digunakan, yaitu sin, cos, dan tangen.

Identitas trigonometri berbicara tentang hubungan suatu fungsi trigonometri dengan fungsi trigonometri lainnya.

Penerapan Identitas Trigonometri

Identitas trigonometri diterapkan dalam berbagai kehidupan, terutama untuk mengukur suatu benda atau benda yang sulit diukur dengan menggunakan prinsip trigonometri. Misalnya benda seperti tinggi pohon, tinggi bangunan, tinggi tiang dan sebagainya dapat diukur dengan menggunakan trigonometri.

Caranya dengan membuat titik acuan lalu mengukur jarak dari bangunan ke titik acuan tersebut.

Grafik Fungsi Trigonometri

1. Grafik Fungsi Sinus

Berdasarkan grafik fungsi sinus di atas terlihat bahwa nilai sinus pada kuadran I (0⁰ – 90⁰) dan kuadran II (90⁰ – 180⁰) bernilai positif sedangkan pada kuadran III (180⁰ – 270⁰) dan kuadran IV (270⁰ – 360⁰) negatif.

Nilai sinus 0⁰, 180⁰ dan 360⁰ menurut grafik fungsi sinus pada Gambar 1. adalah 0 sedangkan nilai 90⁰ adalah 1 dan 270⁰ adalah -1. Grafik fungsi y = sin x berbentuk gelombang yang bergerak teratur dengan bertambahnya nilai x. Properti yang diperoleh dari grafik fungsi y = sin x:

• Periode gelombang adalah 1 revolusi penuh
• Perpindahan gelombang yaitu jarak dari sumbu x ke puncak gelombang = 1
• Grafik y = sin x memiliki nilai ymin = -1 dan nilai ymax = 1
• Titik minimum gelombang y = sin x adalah (270⁰, -1) dan titik maksimum gelombang adalah (90⁰, 1)

2. Grafik Fungsi Cosinus

Berdasarkan grafik fungsi cosinus pada Gambar 2 terlihat bahwa nilai cosinus pada kuadran I (0⁰ – 90⁰) bernilai positif sedangkan pada kuadran II (90⁰ – 180⁰) hingga kuadran III (180⁰ – 270⁰) bernilai negatif . Nilai kosinus kembali positif pada kuadran IV (270⁰ – 360⁰).

Nilai sinus 90⁰ dan 270⁰ menurut grafik fungsi cosinus pada Gambar 2. adalah 0. Sedangkan nilai 0⁰ dan 360⁰ adalah 1 dan besar sudut 180⁰ adalah -1. Sifat-sifat yang diperoleh dari grafik y = cos x seperti pada Gambar 2 adalah:

• Grafik y = cos x dengan x adalah [0⁰, 360⁰] bergerak dari y = 1
• Fungsi y = cos x dan y = sin x untuk nilai x adalah [0⁰, 360⁰] akan sama untuk nilai x tertentu.

3. Grafik Fungsi Tangen

Grafik fungsi tangen x di atas menunjukkan nilai tangen untuk x dari [0⁰, 360⁰]. Dapat dilihat pada grafik fungsi di atas bahwa ketika x → 90⁰ dan x → 270⁰ dari kanan, nilai y = tan x menjadi tak terhingga. Sedangkan jika x → 90⁰ dan x → 270⁰ dari kiri, maka nilai y = tan x negatif hingga tak terhingga.

Sudut Khusus

Sudut khusus dalam identitas trigonometri adalah besaran sudut yang nilai trigonometrinya mudah ditentukan atau menjadi nilai konstanta yang biasanya dituliskan dalam tabel trigonometri.

Sudut istimewa pada identitas trigonometri dibagi berdasarkan kuadrannya, yaitu kuadran I sampai dengan kuadran IV sebagai berikut:

Kuadran I = 0⁰, 30⁰, 45⁰, 60⁰, 90⁰
Kuadran II = 120⁰, 135⁰, 150⁰, 180⁰
Kuadran III = 210⁰, 225⁰, 240⁰, 270⁰
Kuadran IV = 300⁰, 315⁰, 330⁰, 360⁰

Pelajari Juga Aturan Sinus Kosinus

Tabel Trigonometri Sin Cos Tan

Sudut	Dosa	Cos	Tan
0⁰	0	1	0
30⁰	½	½ √3	⅓ √3
45⁰	½ √2	½ √2	1
60⁰	½ √3	½	√3
90⁰	1	0	Belum diartikan
120⁰	½ √3	-½	-√3
135⁰	½ √2	-½ √2	-1
150⁰	½	-½ √3	-⅓ √3
180⁰	0	-1	0
210⁰	-½	-½ √3	⅓ √3
225⁰	-½ √2	-½ √2	1
240⁰	-½ √3	-½	√3
270⁰	-1	0	Belum diartikan
300⁰	-½ √3	½	-√3
315⁰	-½ √2	½ √2	-1
330⁰	-½	½ √3	-⅓ √3
360⁰	0	1	0

Persamaan Trigonometri

1. Persamaan Trigonometri di Kuadran I

sin (90⁰ – x) = cos x
cos (90⁰ – x) = sin x

2. Persamaan Trigonometri di Kuadran II

sin(90⁰ + x) = cos x
sin (180⁰ – x) = sin x
cos (90⁰ + x) = -sin x
cos (180⁰ – x) = -cos x
tan (180⁰ – x) = -tan x

3. Persamaan Trigonometri di Kuadran III

sin(180⁰ + x) = -sin x
cos(180⁰ + x) = -cos x
tan(180⁰ + x) = tan x

4. Persamaan Trigonometri Kuadran IV

sin (360⁰ – x) = -sin x
cos (360⁰ – x) = cos x
tan (360⁰ – x) = -tan x

Pelajari Juga Perbandingan Trigonometri

Identitas Trigonometri Terhadap Sinus

sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y

sin (x – y) = sin x cos y – cos x sin y

sin 2c = 2 sin c cos c

sin² x = ½ – ½ cos 2x

sin 3x = 3 sin x – 4 sin³ x

2 sin x cos y = sin (x + y) + sin (x – y)

Identitas Trigonometri Terhadap Kosinus

cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y

cos (x – y) = cos x cos y + sin x sin y

cos 2c = cos² c – sin² c
cos 2x = 2 cos² x – 1
cos 2x = 1 – 2 sin² x

cos² x = ½ + ½ cos 2x

cos 3c = 4 cos³ c – 3 cos c

2 cos x cos y = cos (x + y) + cos (x – y)

Identitas Trigonometri Terhadap Garis Tangen

Contoh Soal Trigonometri

Tentukan berapa x memenuhi persamaan √8 sin x + 2 = 0

Kesimpulan

Identitas trigonometri diterapkan dalam berbagai kehidupan, terutama dalam mengukur suatu benda, seperti tinggi pohon, tinggi bangunan, tinggi tiang, dan sebagainya. Untuk mengukur tinggi benda-benda tersebut tidak perlu menggunakan alat ukur manual, melainkan menggunakan prinsip trigonometri.