Dalam matematika, konsep polinomial atau yang biasa dikenal dengan polinomial adalah suatu fungsi Matematika yang didalamnya terdapat operasi aritmetika positif penjumlahan, pengurangan, perkalian dan eksponen bilangan bulat.
Aturan mengenai polinomial sangat membantu dalam melakukan berbagai tugas sehari-hari yang melibatkan variabel tertentu. Agar lebih memahami materi polinomial, sebaiknya sering-seringlah mempraktekkan contoh soal polinomial disertai dengan pembahasan seperti di bawah ini.
Definisi Polinomial
Polinomial, atau lebih dikenal sebagai polinomial, adalah bentuk matematika di mana satu atau lebih suku terlibat dengan eksponensial dan bilangan bulat positif. Dalam materi polinomial, satu-satunya operasi aritmatika yang terlibat adalah pengurangan dan penjumlahan.
Baca Juga:
Dalam polinomial, peubah dari setiap suku memiliki pangkat dengan besaran tertentu. Pangkat tertinggi disebut sebagai gelar. Sedangkan variabel polinomialnya sendiri tidak harus satu, tetapi bisa lebih dari satu variabel dengan berbagai huruf.
Berikut adalah bentuk umum polinomial:
Informasi:
Baca Juga:
Dari bentuk umum di atas dapat diketahui bahwa bentuk umum suatu polinomial terdiri dari banyak suku yang setiap sukunya terdiri dari koefisien, variabel atau konstanta. Penulisan polinomial dimulai dari suku yang memiliki derajat pangkat tertinggi kemudian dilanjutkan dengan menurunkan pangkatnya menjadi pangkat nol.
Divisi polinomial
Membagi polinomial f(x) berderajat m dibagi dengan fungsi berderajat satu akan menghasilkan hasil bagi derajat (m – 1) serta sisa pembagian dalam bentuk konstanta. Membagi polinomial dengan pembagi (x – h) dapat menggunakan metode pembagian biasa, skema Horner dan koefisien tak tentu.
Metode Distribusi Biasa
1. Sisa pembagian yaitu
Baca Juga:
2. Koefisien hasil bagi
persis sama dengan angka di baris paling bawah pada perhitungan pertama tanpa f(c)
3. Jumlah derajat pembagi dan derajat hasil bagi sama dengan derajat pembagian. Derajat sisa terbesar adalah satu kurang dari derajat pembagi.
Baca Juga:
Berikut ini adalah contoh cara mengerjakan pembagian polinomial
untuk memudahkan pemahaman:
Metode Horner
Metode Horner digunakan untuk menghitung hasil pembagian polinomial. Skema Horner juga dapat digunakan sebagai alternatif menghitung nilai polinomial selain menggunakan metode substitusi biasa.
Baca Juga:
Skema Horner cocok untuk polinomial panjang. Untuk mengerjakan polinomial dengan menggunakan metode Horner, berikut langkah-langkahnya:
Misalkan ada bentuk polinomial f(y) = ay³ + by² + cy + d yang ingin dihitung nilai polinomial y = h, maka ada 3 langkah yang bisa dilakukan:
- langkah pertama
Koefisien a dikalikan dengan h kemudian hasilnya dijumlahkan dengan b, sebagai berikut:
Baca Juga:
ah + b
- Langkah kedua
Kemudian ah + b dikalikan dengan h dan hasilnya ditambah dengan c, sebagai berikut:
ah² + bh + c
Baca Juga:
- Langkah ketiga
Kemudian ah² + bh + c dikalikan dengan h dan hasilnya ditambah dengan d, sebagai berikut:
ah³ + bh² + ch + d
Singkatnya, urutan pengerjaan polinomial dengan menggunakan metode Horner ditulis sebagai:
Baca Juga:
f(y) = ay³ + by² + cy + d
f(y) = (ay² + oleh + c) y + d
f(y) = ((ay + b) y + c) y + d
Baca Juga:
Jadi f(h) = ((ah + b) h + c) h + d
Proses perkalian dan penjumlahan polinomial
Metode Horner dapat dijelaskan dengan skema berikut:
Baca Juga:
Untuk membandingkan hasil pembagian menggunakan metode Horner dan pembagian polinomial dengan algoritma pembagian, perhatikan bentuk polinomialnya
dibagi (x – h) maka cara pembagiannya sama dengan cara pembagian biasa di atas.
Dapat dilihat dari contoh di atas bahwa metode Horner untuk menentukan nilai polinomial juga dapat digunakan untuk menentukan hasil pembagian dan sisa pembagian dengan menggunakan pembagi (x – h). Hasil pembagian dengan algoritma pembagian atau metode Horner menghasilkan hasil yang sama:
Baca Juga:
Metode Koefisien tak tentu
Metode koefisien tak tentu adalah metode lain yang dapat digunakan untuk menghitung hasil pembagian polinomial. Caranya adalah dengan mengganti f(x) berderajat n dengan g(x) berderajat m ke dalam bentuk umum pembagian polinomial. Maka h(x) dan j(x) diisi dengan:
h(x) adalah polinomial berderajat k, dengan k = n – m
j(x) adalah polinomial derajat m – k
Baca Juga:
Contoh Masalah Polinomial
Gunakan metode Horner untuk menghitung hasil bagi dari:
A. 2x³ + 4x² – 20 dibagi x – 3
B. 2x³ + 5x + 5 dibagi x + 1
Diskusi
Baca Juga:
Menjawab:
A. 2x³ + 4x² – 20 dibagi x – 3
Jadi berdasarkan cara Horner di atas, hasil bagi dari 2x² + 10x + 30 derajat 2 dengan 70 adalah sisa pembagian.
Baca Juga:
B.
hasil bagi 2x² – 2x + 7 derajat 2 kali 19 adalah sisa pembagian.
Temukan hasil pembagian 2x³ + 7x² – 13 dengan x – 2
Baca Juga:
Diskusi
Menjawab:
Sehingga operasi pembagian di atas dapat dituliskan secara berurutan sebagai berikut:
Baca Juga:
2x³ + 7x² – 13
= (x – 2) 2x² + 11x² – 13
= (x – 2) 2x² + 11x (x – 2) + 22x – 13
= (x – 2) 2x² + 11x (x – 2) + (x – 2) 22 + 31
= (x – 2) (2x² + 11x + 22) + 31
Sisanya adalah 31 yang kurang dari (x – 2).
Untuk menghitung nilai polinomial sebenarnya dapat dilakukan dengan metode substitusi biasa. Namun, metode substitusi hanya cocok untuk polinomial sederhana. Selain metode substitusi, polinomial dapat dihitung menggunakan metode Horner, dan seterusnya.
Baca Juga:
mejakelas.com
