pusatdapodik.com kali ini kita akan membahas contoh soal induksi matematika dan jawabannya beserta definisi dan pengertian induksi matematika serta berbagai langkah penyelesaian induksi matematika.
Induksi matematika
Induksi matematika adalah materi yang menjadi perpanjangan dari logika matematika. Logika matematika mempelajari pernyataan-pernyataan yang dapat bernilai benar atau salah, ekuivalen atau lingkaran dari suatu pernyataan, dan juga mengandung kesimpulan.
Induksi matematika adalah metode pembuktian deduktif yang digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan benar atau salah. Dimana suatu proses atau kegiatan berpikir menarik kesimpulan berdasarkan kebenaran pernyataan yang berlaku secara umum terhadap pernyataan khusus tertentu yang bisa juga benar.
Dalam induksi matematika, suatu variabel dari suatu formulasi dibuktikan sebagai anggota himpunan bilangan asli.
Langkah-langkah Induksi Matematika
Ada tiga langkah dalam induksi matematika yang diperlukan untuk membuktikan suatu rumus atau pernyataan. itu adalah :
- buktikan bahwa rumus atau pernyataan itu benar untuk n = 1
- bukti dari rumus atau pernyataan itu benar untuk n = k
- Membuktikan rumus atau pernyataan itu benar untuk n = k + 1
Contoh Soal Induksi Matematika
Buktikan bahwa:
Langkah 1
1 = 1 (terbukti)
Langkah 2 ( n = k )
Langkah 3 (n=k+1)
efek domino
Perhatikan langkah-langkah ini satu per satu. Mulailah dari langkah pertama.
Langkah 1:
Buktikan bahwa Sn benar untuk n=1.
Langkah pertama ini mudah. cukup masukkan nilai n=1 ke persamaan, lalu menghitung deret, selesai. Kesimpulannya: S1 benar (Sn benar untuk n=1).
Langkah 2:
Buktikan bahwa benar untuk n=k, misalkan ia juga benar untuk n=k+1.
Karena pada langkah pertama sudah terbukti Sn benar untuk n=1berarti dia juga berhak n=2. Jika Sn benar untuk n=2maka Sn juga berlaku untuk n=3. Jika Sn benar untuk n=3maka Sn juga berlaku untuk n=4. Begitu seterusnya hingga tak terhingga.
Jika penjelasan di atas masih kurang jelas, coba pelan-pelan. Jadi bayangkan pembuktian yang dilakukan pada langkah 1 dan 2 dinyatakan dalam dua premis, premis 1 untuk pernyataan pada langkah 2 dan premis 2 untuk pernyataan pada langkah 1. Akan menjadi seperti ini:
Premis 1: Jika Sn benar untuk n=k, maka Sn juga benar untuk n=k+1
Premis 2: Sn benar untuk n=1
Kesimpulan:
Jika kita memiliki dua premis seperti itu, kesimpulan apa yang bisa ditarik? Karena nilai k = 1, berarti k + 1 adalah 2.
Artinya kesimpulannya adalah Sn juga benar untuk n=2. Kemudian lanjutkan lagi dengan kesimpulan dan masuk ke premis 2.
Premis 1: Jika Sn benar untuk n=k, maka Sn juga benar untuk n=k+1
Premis 2: Sn benar untuk n=2
Kesimpulannya mudah, ternyata Sn benar untuk n=3. Ini masih bisa dilanjutkan lagi dengan teknik yang sama. Kesimpulan ini digunakan sebagai premis 2.
Premis 1: Jika Sn benar untuk n=k, maka Sn juga benar untuk n=k+1
Premis 2: Sn benar untuk n=3
Apa kesimpulan dari kedua premis di atas? kesimpulannya adalah, Sn benar untuk n=4. Bisa melanjutkan proses ini sampai selanjutnya. Tetapi pada titik tertentu Anda harus berhenti melakukan ini dan mulai berpikir lagi.
Jadi, jika proses ini dilanjutkan, akan disimpulkan bahwa Sn benar untuk semua n bilangan asli.
Inilah mengapa Induksi Matematika sering dikaitkan dengan efek domino. Seperti efek domino, meski hanya menjatuhkan domino pertama, hasilnya semua domino bisa jatuh secara bergantian.
