Induksi Matematika

Induksi matematika – Hallo pengguna setia Rumrumus.com, kalau ngomongin mata pelajaran mana yang paling tidak kamu suka, kemungkinan besar jawabannya apa? Apakah ada di antara kalian yang menyukai pelajaran Matematika ini? Berbicara tentang Matematika sama halnya dengan membahas tentang perhitungan tentunya. Itu sebabnya beberapa orang, terutama pelajar, mungkin tidak terlalu menyukai mata pelajaran ini.

Padahal belajar Matematika tidak begitu sulit, namun keseharian kita pasti penuh dengan perhitungan, nah kali ini kita akan membahas tentang induksi matematika yang ternyata sering terjadi tanpa kita sadari dalam kehidupan kita.

Memahami

Induksi Matematika adalah metode pembuktian di mana metode deduktif digunakan untuk membuktikan pernyataan matematika yang bergantung pada sekumpulan bilangan yang dirinci dengan rapi (diatur dengan baik). Misalnya bilangan asli atau himpunan bagian bilangan asli yang tidak kosong.

Tujuan

Perlu digarisbawahi bahwa induksi matematika hanya digunakan untuk membuktikan kebenaran suatu pernyataan atau rumus, bukan untuk menurunkan rumus.

Lebih khusus lagi, atau intinya, induksi matematika ini tidak dapat digunakan untuk menurunkan atau menemukan rumus.

Contoh

Setelah membaca penjelasan sebelumnya, berikut adalah beberapa contoh pernyataan matematika yang dapat dibuktikan melalui induksi matematika:

P(n) : 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1), n ​​adalah bilangan asli
P(n) : 6ⁿ + 4 habis dibagi 5, karena n sendiri bilangan asli.
P(n) : 4n < 2ⁿuntuk setiap bilangan asli n ≥ 4

Cara awal yang paling mudah untuk memahami prinsip kerja induksi matematika adalah dengan mengamati efek domino. Kita bisa mulai dengan mengajukan pertanyaan “kapan semua domino akan jatuh?”.

Ada dua syarat yang harus dipenuhi agar semua kartu domino jatuh:

Pertama : domino pertama atau 1 harus jatuh.
Kedua: benar jika setiap domino yang jatuh akan jatuh tepat satu domino berikutnya.
Artinya jika domino 1 tumbang maka domino 2 juga akan tumbang, selanjutnya jika domino 2 tumbang maka domino 3 juga akan tumbang, begitu seterusnya sampai habis.

Secara umum bisa dikatakan jika k domino jatuh maka (k + 1) domino juga akan jatuh dan implikasi dari ini berlaku untuk semua domino.

Agar kedua syarat di atas sudah terpenuhi, maka dipastikan semua domino akan jatuh juga.

Baca juga: Contoh Soal Induksi Matematika

Prinsip

Like P(n) adalah ekspresi yang bergantung pada n. P(n) benar jika setiap n bilangan asli memenuhi 2 syarat berikut:

1. P(1) benar, artinya untuk n = 1 maka P(n) benar.
2. Untuk bilangan asli k, maka P(k) benar sehingga P(k + 1) juga benar.

Prinsip di atas dapat diperluas ke pernyataan yang bergantung pada himpunan bagian tak kosong dari bilangan asli.

Ekspansi prinsip:
Like P(n) adalah ekspresi yang bergantung pada n. P(n) benar untuk setiap bilangan asli n ≥ m jika memenuhi 2 syarat berikut:

1. P(m) benar, artinya untuk n = m, maka P(n) benar
2. Setiap bilangan asli k ≥ m, maka P(k) benar dan P(k + 1) juga benar.

Untuk menunjukkan bahwa P(1) benar, kita cukup mensubstitusikan n = 1 pada P(n). Jika P(n) disajikan dalam bentuk persamaan, artinya ruas kiri harus sama dengan ruas kanan ketika n = 1, maka dapat disimpulkan bahwa P(1) benar. Dengan cara yang sama dapat diterapkan untuk menunjukkan bahwa P(m) benar.

Kembali lagi pada kasus domino yang terjadi diatas, agar domino (k+1) jatuh maka domino k harus jatuh terlebih dahulu, maka implikasinya “jika domino k jatuh maka domino berikutnya (k+1) akan jatuh juga” dapat terjadi.

Jadi untuk menunjukkan implikasi “jika P(k) benar maka P(k + 1) pasti juga benar”, pertama kita dapat mengasumsikan atau mengasumsikan jika P(k) benar.

Kemudian berdasarkan asumsi tersebut kita tunjukkan bahwa P(k + 1) juga pasti benar. Langkah mengasumsikan P(k) benar dikenal sebagai hipotesis induksi.

Langkah Bukti

Setelah mengetahui prinsipnya, berikut langkah-langkah pembuktian induksi matematika yang dapat diuraikan sebagai berikut:

1. Langkah Dasar : Tunjukkan jika P(1) benar.
2. Langkah induksi : Asumsikan bahwa P(k) juga benar untuk setiap bilangan asli, maka tunjukkan bahwa P(k+ 1) juga harus benar berdasarkan asumsi tersebut.
3. Kesimpulan : P(n) benar untuk sembarang bilangan asli n.

Bukti Seri

Berikut ini adalah hal-hal yang perlu diperhatikan terkait deret tersebut, sebelum masuk ke dalam pembuktian deret tersebut.

Jika P(n) : u₁ + kamu₂ + kamu₃ + … + kamu_n = S_n jadi
P(1) : kamu₁ = S₁
P(k) : u₁ + kamu₂ + kamu₃ + … + kamu_k = S_k
P(k + 1) : u₁ + kamu₂ + kamu₃ + … + kamu_k + kamu_k+1 = S_k+1

Contoh
Buktikan 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1), untuk setiap n bilangan asli.

Menjawab :
P(n) : 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1)
Buktikan segera bahwa P(n) benar untuk setiap n ∈ N

Langkah Dasar :
Segera ditunjukkan bahwa P(1) benar
2 = 1(1 + 1)
Maka P(1) benar

Langkah Induksi :
Asumsikan jika P(k) benar
2 + 4 + 6 + … + 2k = k(k + 1), k ∈ N

Segera ditunjukkan P(k + 1) juga akan benar, yaitu
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)

Dengan asumsi hasil:
2 + 4 + 6 + … + 2k = k(k + 1)
Kemudian tambahkan kedua sisi kanan dan kiri dengan u_k+1 :
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1)
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)
Maka P(k + 1) benar

Berdasarkan prinsip yang dijelaskan sebelumnya, terbukti bahwa P(n) benar untuk setiap n bilangan asli ini.

Bukti Pembagian

Pernyataan “a habis dibagi b” identik dengan:

1. sebuah beberapa b
2. b faktor dari sebuah
3. b Bagikan sebuah

“Jika p habis dibagi a dan q habis dibagi a, maka (p + q) juga habis dibagi a”.
Sebagai contoh :
4 habis dibagi 2 dan
6 habis dibagi 2,
Jadi (4 + 6) juga habis dibagi 2

Contoh
Buktikan jika 6ⁿ + 4 habis dibagi 5, karena setiap n adalah bilangan asli.

Menjawab :
P(n) : 6ⁿ +4 habis dibagi 5
Kemudian segera buktikan P(n) benar untuk setiap n ∈ N.

Langkah Dasar :
Segera ditunjukkan bahwa P(1) benar
6¹ + 4 = 10 habis dibagi 5
Jadi P(1) benar

Langkah induksi :
Asumsikan bahwa P(k) benar, yaitu
6^k + 4 habis dibagi 5, k ∈ N

Segera ditunjukkan P(k + 1) juga akan benar, yaitu
6^k+1 +4 habis dibagi 5.

6^k+1 + 4 = 6(6^k)+ 4
6^k+1 + 4 = 5(6^k) + 6^k +4

Karena 5(6^k) habis dibagi 5 dan
6^k + 4 habis dibagi 5,
Alasan 5(6^k) + 6^k +4 juga habis dibagi 5.
Jadi P(k + 1) benar.

Berdasarkan prinsip induksi matematika yang telah dibahas, terbukti 6ⁿ + 4 habis dibagi 5, untuk setiap n bilangan asli ini.

“Bilangan bulat a habis dibagi dengan bilangan bulat b jika ada bilangan bulat m sehingga berlaku a = bm.
Misalnya, “10 habis dibagi 5” benar karena ada bilangan bulat m = 2 jadi 10 = 5,2. Maka pernyataan bahwa “10 habis dibagi 5” dapat ditulis menjadi “10 = 5m, untuk m adalah bilangan bulat”
Menurut konsep di atas, pembuktian pembagian juga dapat diselesaikan dengan cara berikut.

Bukti Ketimpangan

Sebelum contoh tentang ini, pertimbangkan sifat-sifat ketidaksetaraan berikut yang umum digunakan:

Sebelum masuk ke contoh soal, alangkah baiknya kita praktek terlebih dahulu menggunakan sifat-sifat di atas agar kita bisa menunjukkan implikasinya “jika P(k) benar maka P(k + 1) bisa juga benar”.

Suka :
P(k) : 4k < 2^k
P(k + 1) : 4(k + 1) < 2^k+1
Jadi diasumsikan jika P(k) benar untuk k ≥ 5, tunjukkan jika P(k + 1) juga benar!

Ingat bahwa tujuan awal adalah untuk menunjukkan
4(k + 1) < 2^k+1 = 2(2^k) = 2^k +2^k (TARGET)

Yang pertama dapat dimulai dari ruas kiri bentuk pertidaksamaan di atas:
4(k + 1) = 4k + 4
4(k + 1) < 2^k + 4 (karena 4k < 2^k)
4(k + 1) < 2^k +2^k (karena 4 < 4k < 2^k)
4(k + 1) = 2(2^k)
4(k + 1) = 2^k+1

Berdasarkan sifat transitif yang telah dijelaskan, maka dapat disimpulkan
4(k + 1) < 2^k+1

Mengapa 4k bisa berubah menjadi 2^k ?
Menurut sifat ke-3, Anda diperbolehkan menjumlahkan kedua ruas pertidaksamaan dengan bilangan yang sama, karena Anda tidak dapat mengubah nilai kebenaran pertidaksamaan tersebut. Karena 4k < 2^k benar, akibatnya 4k + 4 < 2^k +4 juga benar.

Bagaimana kita tahu, 4 harus diubah menjadi 2^k ?
Perhatikan target awal Anda. Hasil sementara adalah 2^k +4 sedangkan target awal adalah 2^k +2^k.

Jika k ≥ 5, maka 4 < 4k dan 4k < 2^k benar, jadi 4 < 2^k juga benar (yang transitif). Akibatnya 2^k + 4 < 2^k +2^k benar (di mana bentuk atribut 3).

Contoh
Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli berlaku n ≥ 4
3n < 2ⁿ.

Menjawab :
P(n) : 3n < 2ⁿ
Segera buktikan bahwa P(n) juga berlaku untuk n ≥ 4, n ∈ NN

Langkah Dasar :
Segera ditunjukkan bahwa P(4) benar
3,4 = 12 < 2⁴ = 16
Jadi P(4) benar

Langkah induksi :
Kemudian asumsikan P(k) juga benar, yaitu
3k < 2^kk ≥ 4

Segera ditunjukkan bahwa P(k + 1) juga benar, yaitu
3(k + 1) < 2^k+1

3(k + 1) = 3k + 3
3(k + 1) < 2^k + 3 (karena 3k < 2^k)
3(k + 1) < 2^k +2^k (karena 3 < 3k < 2^k)
3(k + 1) = 2(2^k)
3(k + 1) = 2^k+1

Maka P(k + 1) juga benar

Berdasarkan prinsip induksi matematika yang telah dibahas, terbukti bahwa P(n) berlaku untuk setiap bilangan asli n ≥ 4.

Demikian pembahasan artikel ini, semoga bermanfaat dan menjadi pengetahuan baru bagi para pembaca.

Baca juga artikel lainnya :