Pahami Integral Tentu dari Pengertian, Sifat hingga Penerapannya

- Penulis

Minggu, 5 Maret 2023 - 19:34 WIB

facebook twitter whatsapp telegram line copy

URL berhasil dicopy

facebook icon twitter icon whatsapp icon telegram icon line icon copy

URL berhasil dicopy

Pahami Integral Tentu dari Pengertian Sifat hingga Penerapannya.webp

Hai Sobat, saat belajar Matematika, pernahkah kamu diminta untuk menentukan luas bangun di bawah kurva? Misalnya, jika Anda mengetahui kurva Gaussian, maka Anda diminta untuk menentukan luas awal X = A sampai X = b? Coba lihat, area di bawah kurva itu kontinyu, artinya tidak berhenti. Nah, cara termudah untuk menyelesaikan luas di bawah kurva adalah dengan menggunakan sistem integral tertentu. Lalu, apa yang dimaksud dengan integral tertentu? Daripada penasaran, yuk simak selengkapnya!

Definisi Integral Mutlak

integral tertentu (integral tertentu) adalah integral yang memiliki batas nilai tertentu, sehingga hasil akhirnya dapat ditentukan dengan pasti. Batas nilai adalah nilai variabel dari fungsi yang telah diintegrasikan. Dalam Matematika, integral tertentu dapat digunakan untuk mencari luas daerah di bawah kurva, volume benda berputar yang dibatasi titik tertentu, luas daerah yang dibatasi kurva tertentu, dan lain-lain. Contoh penulisan integral tertentu adalah sebagai berikut.

Pahami Integral Tentu dari Pengertian Sifat hingga Penerapannya

Dengan:

A = batas bawah; Dan

B = batas atas

Dari bentuk di atas tentunya kamu sudah tahu kan perbedaan mendasar antara integral tentu dan integral tak tentu? Yap, benar. Perbedaan mendasar antara kedua integral tersebut terletak pada apakah ada batasan variabel, ya. Sedangkan langkah-langkah pengolahan integralnya sama.

Properti Integral Mutlak

Sifat-sifat integral tentu saja berkaitan dengan linearitasnya, perubahan batasnya, dan penambahan batasnya. Ciri-ciri yang dimaksud adalah:

Properti Linearitas

Sifat kelinieran integral tertentu sama dengan sifat kelinieran integral tak tentu, yaitu sebagai berikut.

Sifat pertama

Sifat pertama adalah sifat integral yang memuat konstanta di depan fungsi sebagai berikut.

1678019677 979 Pahami Integral Tentu dari Pengertian Sifat hingga Penerapannya

sifat kedua

Sifat kedua berlaku untuk integral penjumlahan dua fungsi sebagai berikut.

1678019678 736 Pahami Integral Tentu dari Pengertian Sifat hingga Penerapannya

Anda dapat memecah proses penjumlahan integral dua fungsi ke jumlah integral dari setiap fungsi dengan batas yang sama.

Sifat ketiga

Sifat ketiga berkaitan dengan integral dari pengurangan dua fungsi.

1678019678 929 Pahami Integral Tentu dari Pengertian Sifat hingga Penerapannya

Konsepnya sama dengan penjumlahan. Hanya saja sifat komutatif tidak berlaku pada pengurangan dimana ABBA.

Sifat Perubahan Batas

Sifat ini berlaku jika ada perubahan pada limit integral. Perubahan tersebut dapat berupa pembalikan limit atau penambahan limit.

Sifat pembalikan batas

Limit integral suatu fungsi dapat dibalik A sampai B menjadi B sampai Adengan syarat tanda fungsi harus berlawanan, yaitu sebagai berikut.

1678019678 763 Pahami Integral Tentu dari Pengertian Sifat hingga Penerapannya

Apakah hasilnya sama? Tentu saja sama, ya. Jika tidak percaya, buktikan hasil integral berikut.

1678019678 367 Pahami Integral Tentu dari Pengertian Sifat hingga Penerapannya

Sifat dari batas tambahan

Selain dibalik, Anda juga bisa menambahkan batas integral, misalnya dari A sampai B menjadi A sampai C. Anda dapat mengatasi batas tambahan ini dengan properti berikut.

1678019679 196 Pahami Integral Tentu dari Pengertian Sifat hingga Penerapannya

Membatasi A sampai C dapat digambarkan sebagai A sampai B Kemudian B sampai C.

Penerapan Integral Mutlak

Dalam Matematika, sistem integral tertentu ini biasa digunakan untuk menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan fungsi kontinu. Misalnya menentukan luas di bawah kurva dan menentukan volume benda berputar yang dibatasi oleh beberapa fungsi. Bagaimana caranya? Yuk, simak uraiannya di bawah ini.

Menentukan Area di Bawah Kurva F(X) yang dibatasi sumbu x

Pernahkah Anda menemukan pertanyaan yang berkaitan dengan area di bawah kurva? Jika kurvanya berupa garis lurus tentunya cukup mudah, karena Anda bisa menggunakan rumus luas bangun datar. Namun, bagaimana jika kurva tersebut berupa garis lengkung?

Baca Juga :  Sejarah Pertempuran 5 Hari 5 Malam di Palembang

Misalnya, luas S berada di bawah kurvalinier f(x) (kondisi f(x) > 0) dan di atas sumbu x dengan batas bawah X = A dan batas atas X = b sebagai berikut.

1678019679 153 Pahami Integral Tentu dari Pengertian Sifat hingga Penerapannya

Untuk menentukan luas S, Anda dapat menggunakan sistem integral tertentu sebagai berikut.

1678019679 442 Pahami Integral Tentu dari Pengertian Sifat hingga Penerapannya

Dengan:

LS = luas S;

A = batas bawah;

B = batas atas; Dan

f(x) = fungsi kurva.

Ingat, jika kurva berada di bawah sumbu x dan berada di sebelah kiri sumbu y, maka Anda harus menambahkan tanda negatif di depan persamaan integral.

Untuk lebih memahami, perhatikan contoh berikut.

Tentukan luas daerah di bawah kurva F(X) = X2 + 1 dibatasi oleh sumbu x dengan batas bawah X = -1 dan batas atas X = 0!

Diskusi:

Pertama, uraikan terlebih dahulu luas area yang dimaksud.

1678019680 348 Pahami Integral Tentu dari Pengertian Sifat hingga Penerapannya

Karena luas yang dimaksud berada di sebelah kiri sumbu y, Anda harus menambahkan tanda negatif di depan persamaan integral, yaitu sebagai berikut.

1678019680 677 Pahami Integral Tentu dari Pengertian Sifat hingga Penerapannya

Jadi, luas yang dimaksud adalah 2/3 satuan luas.

Menentukan Luas yang Dibatasi oleh Dua Kurva, F(X) Dan G(X)

Sebelumnya, kamu telah mempelajari cara mencari luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) dan sumbu x. Kali ini, Anda akan belajar menentukan luas yang dibatasi oleh dua buah kurva dengan fungsi yang berbeda. Lihatlah gambar berikut.

1678019681 928 Pahami Integral Tentu dari Pengertian Sifat hingga Penerapannya

Gambar di atas menunjukkan bahwa luas S dibatasi oleh kurva f(x) dan g(x) dengan batas bawah X = A dan batas atas X = B. Luas S dapat ditentukan dengan persamaan integral berikut.

1678019681 691 Pahami Integral Tentu dari Pengertian Sifat hingga Penerapannya

Dengan ketentuan: F(X) ≥ G(X).

Ada poin penting yang harus diperhatikan Sobat saat menyelesaikan luas yang dibatasi oleh dua kurva, yaitu kurva yang membatasi luas bagian atas berfungsi sebagai F(X). sedangkan kurva yang membatasi luasan bagian bawah berfungsi sebagai G(X). Artinya, penentuan f(x) atau g(x) tidak bisa sembarangan.

Untuk lebih memahaminya, mari kita lihat contoh berikut.

Temukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = -x2 + 3x dan y = x2 dengan batas bawah X = 0 sampai X = 1!

Diskusi:

Pertama, Anda harus mendeskripsikan luas wilayah yang dimaksud.

1678019681 96 Pahami Integral Tentu dari Pengertian Sifat hingga Penerapannya

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = -x2 + 3x dan y = x2 dengan batas bawah X = 0 sampai X = 1 diarsir dengan warna biru. Dari gambar di atas terlihat bahwa bagian atas daerah yang diarsir dibatasi oleh y =- x2 + 3x dan batas bawahnya adalah y = x2. Untuk menentukan luas daerah, gunakan persamaan berikut.

1678019682 576 Pahami Integral Tentu dari Pengertian Sifat hingga Penerapannya

Jadi, luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = -x2 + 3x dan y = x2 dengan batas bawah X = 0 sampai X = 1 adalah 5/6 satuan luas.

Menentukan Volume Benda Berputar Kurva Di Sekitar Sumbu X

Siapa sangka volume benda yang berputar dapat ditentukan dengan menggunakan mekanisme integral Kamu tahu. Misalnya, kurva diputar di sekitar sumbu x sebesar 360Hai seperti berikut ini.

1678019682 82 Pahami Integral Tentu dari Pengertian Sifat hingga Penerapannya

Untuk menentukan volume hasil rotasi kurva di sekitar sumbu x, gunakan persamaan di bawah ini.

1678019683 594 Pahami Integral Tentu dari Pengertian Sifat hingga Penerapannya

Dengan:

V = volume benda yang berputar;

f(x) = fungsi kurva;

A = batas bawah; Dan

B = batas atas

Menentukan Volume Kurva Putar Satu di Sekitar Sumbu Y

Mekanisme integral juga dapat digunakan untuk menentukan volume benda berotasi melengkung yang diputar mengelilingi sumbu y. Jika diuraikan menjadi sebagai berikut.

Baca Juga :  PERUBAHAN PENGUMUMAN PENGADAAN PPPK KABUPATEN ACEH TENGAH TAHUN 2023
1678019683 451 Pahami Integral Tentu dari Pengertian Sifat hingga Penerapannya

Area putaran yang dihasilkan memiliki batas bawah y = C dan batas atas y = D. Lalu, bagaimana cara menentukan volume benda yang berputar? Untuk menentukan volume, gunakan persamaan berikut.

1678019683 396 Pahami Integral Tentu dari Pengertian Sifat hingga Penerapannya

Dengan:

V = volume benda yang berputar;

f(y) = fungsi kurva;

C = batas bawah; Dan

D = batas atas

Menentukan Volume Dua Kurva Memutar Objek Di Sekitar Sumbu X

Jika dua kurva sejajar diputar mengelilingi sumbu x sebesar 360Haimaka akan terbentuk luas volume sebagai berikut.

Volume benda yang berputar pada sumbu x yang dibatasi oleh dua buah kurva dapat ditentukan dengan persamaan di bawah ini.

1678019684 755 Pahami Integral Tentu dari Pengertian Sifat hingga Penerapannya

Volume benda berputar yang dibatasi oleh kedua kurva tersebut dapat ditentukan dengan persamaan di bawah ini.

1678019685 301 Pahami Integral Tentu dari Pengertian Sifat hingga Penerapannya

Menentukan Volume Dua Kurva Di Sekitar Objek Berputar Sumbu Y

Langkah-langkah untuk menentukan volume benda yang berputar dengan dua kurva di sekitar sumbu y dimulai dengan cara yang sama seperti benda berputar lainnya, yaitu dengan menggunakan mekanisme integral.

1678019685 519 Pahami Integral Tentu dari Pengertian Sifat hingga Penerapannya

Persamaan integral untuk menentukan volume benda yang berputar di atas adalah sebagai berikut.

1678019686 565 Pahami Integral Tentu dari Pengertian Sifat hingga Penerapannya

Sampai di sini, apakah Sobat sudah paham?

Jika ya, mari kita lanjutkan ke contoh soal!

Contoh integral tertentu

Contoh soal integral kali ini berkaitan dengan volume benda yang berputar ya.

Contoh Soal 1

Tentukan volume benda berputar yang dibatasi oleh y = X + 3 dan diputar 360Hai terhadap sumbu x dengan limit X = 1 dan X = 3!

Diskusi:

Anda dapat menentukan volume benda yang berputar dengan cara berikut.

1678019686 14 Pahami Integral Tentu dari Pengertian Sifat hingga Penerapannya

Jadi, volume benda yang berputar satuan volum.

Contoh Soal 2

Hitunglah volume benda berotasi yang dibatasi oleh kurva tersebut y = 9 – X2 dan diputar terhadap sumbu y sebesar 360Hai!

Diskusi:

Karena diputar terhadap sumbu y, Anda harus mengubah persamaan fungsinya menjadi y.

1678019687 890 Pahami Integral Tentu dari Pengertian Sifat hingga Penerapannya

Selanjutnya, tentukan limit pada sumbu y dengan mendeskripsikan fungsi dalam koordinat Cartesian.

1678019687 389 Pahami Integral Tentu dari Pengertian Sifat hingga Penerapannya

Dari kurva di atas diperoleh batas bawah y = 0 dan batas atas y = 9.

Kemudian, substitusikan nilainya X2 pada persamaan volume kurva diputar di sekitar sumbu y.

1678019687 539 Pahami Integral Tentu dari Pengertian Sifat hingga Penerapannya

Jadi, volume benda yang berputar adalah satuan volum.

Contoh Soal 2

Kurva yang diketahui .

Tentukan perbandingan volume benda yang berotasi jika kurva diputar mengelilingi sumbu x dan sumbu y sebesar 360Hai dengan batas bawah X = 0 dan batas atas X = 4!

Diskusi:

Pertama, gambarkan terlebih dahulu bentuk kurvanya sehingga Anda mengetahui batas-batas yang bertemu dengannya pada sumbu y.

1678019688 627 Pahami Integral Tentu dari Pengertian Sifat hingga Penerapannya

Jika batas bawah sumbu x = 0 dan batas atas = 4, maka diperoleh batas bawah sumbu y = 0 dengan batas atas = 6. Artinya:

  • X = 0 dan X = 4
  • y = 0 dan y = 6

Kemudian, tentukan volume benda yang berotasi jika kurva tersebut diputar 360 derajatHai pada sumbu x.

1678019688 411 Pahami Integral Tentu dari Pengertian Sifat hingga Penerapannya

Selanjutnya, tentukan volume benda yang berotasi jika kurva diputar terhadap sumbu y sebesar 360Hai.

1678019689 818 Pahami Integral Tentu dari Pengertian Sifat hingga Penerapannya

Nilai pengganti X2 pada persamaan volume benda yang berputar Vy.

1678019689 398 Pahami Integral Tentu dari Pengertian Sifat hingga Penerapannya

Dengan demikian, perbandingan antara VX dan VY adalah sebagai berikut.

1678019690 732 Pahami Integral Tentu dari Pengertian Sifat hingga Penerapannya

Jadi, perbandingan volume benda saat kurva diputar terhadap sumbu x dan sumbu y adalah 5:4.

Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bermanfaat, ya. Untuk mendapatkan materi lengkapnya, buruan gabung dengan Quipper Video. Salam Quippers!

www.quipper.com

Berita Terkait

Untuk Jenjang SMA Tahun Depan 2024/2025 Sudah tidak Ada Lagi Penjurusan, Ini Kebijakan Baru Dari Nadiem makarim
Pasti dari Jokowi, Tahun Depan tidak Ada Perbedaan Antara PNS dan PPPK, Semua Akan Satu Nama Menjadi ASN
Contoh Doa Penutup MPLS 2024 Dalam Bahasa Indonesia
Contoh Materi MPLS SMP Kurikulum Merdeka Tahun Anggaran 2024/2025
Implementasi Pembelajaran Sosial dan Emosional di Kelas dan Sekolah
Contoh Modul Ajar Kurikulum Merdeka PAUD-TK Terbaru 2024
6 Daftar Kegiatan Ketika MPLS Bersama Peserta Didik Baru, Jangan Sampai Terlewatkan !
Ada Perlakuan Khusus untuk PPPK 2024, Semua Guru Akan Diberi Tunjangan Lebih Hingga 3 Juta
Berita ini 1 kali dibaca

Berita Terkait

Sabtu, 20 Juli 2024 - 10:33 WIB

Untuk Jenjang SMA Tahun Depan 2024/2025 Sudah tidak Ada Lagi Penjurusan, Ini Kebijakan Baru Dari Nadiem makarim

Jumat, 19 Juli 2024 - 10:42 WIB

Pasti dari Jokowi, Tahun Depan tidak Ada Perbedaan Antara PNS dan PPPK, Semua Akan Satu Nama Menjadi ASN

Jumat, 12 Juli 2024 - 21:32 WIB

Contoh Doa Penutup MPLS 2024 Dalam Bahasa Indonesia

Sabtu, 6 Juli 2024 - 11:26 WIB

Contoh Materi MPLS SMP Kurikulum Merdeka Tahun Anggaran 2024/2025

Senin, 1 Juli 2024 - 16:57 WIB

Implementasi Pembelajaran Sosial dan Emosional di Kelas dan Sekolah

Berita Terbaru