Turunan: Pengertian, Macam, Rumus, & Contoh Soal

- Penulis

Selasa, 7 Maret 2023 - 09:59 WIB

facebook twitter whatsapp telegram line copy

URL berhasil dicopy

facebook icon twitter icon whatsapp icon telegram icon line icon copy

URL berhasil dicopy

Turunan Pengertian Macam Rumus Contoh Soal

Turunan Pengertian Macam Rumus Contoh Soal

Materi turunan merupakan konsep penting dalam matematika yang harus dikuasai oleh siswa sebelum membahas penggunaan konsep kalkulus diferensial yang merupakan kelanjutan dari materi limit. Sebelum menguasai konsep turunan, trigonometri, fungsi, dan limit fungsi harus dikuasai.

Definisi Derivatif

Derivatif atau diferensial adalah operasi matematika pada perubahan nilai suatu fungsi akibat perbedaan nilai variabel masukan.

Aplikasi Turunan

Konsep turunan memiliki banyak manfaat dalam kehidupan. Dalam bidang Matematika, konsep turunan berfungsi untuk memudahkan dalam mencari garis singgung suatu kurva dari suatu fungsi atau kecepatan. Konsep turunan juga berfungsi dalam biologi untuk menghitung laju pertumbuhan organisme.

Sedangkan dalam ilmu ekonomi, konsep derivatif juga berguna untuk menghitung keuntungan marjinal suatu bisnis. Dalam bidang sains seperti Fisika, konsep turunan berguna untuk menghitung massa jenis bahan seperti kawat serta dalam bidang Kimia untuk menghitung laju pemisahan zat dalam cairan.

Formula Derivatif

Turunan dari fungsi f dilambangkan dengan f’ yang diperkenalkan oleh seorang matematikawan Prancis, Josep Louis Lagrange (1736 – 1813). Notasi fungsi f’ memiliki nilai di x dalam bentuk f’ (x).

Jika titik (x, y) terletak pada grafik fungsi f, di mana x memenuhi persamaan y = f (x), maka notasi f’ dapat diganti dengan y’ atau dy/dx. Notasi dy/dx digunakan oleh matematikawan Jerman Gottfried Wilhelm Leibniz.

Turunan Pengertian Macam Rumus Contoh Soal

Pelajari Juga Persamaan Kuadrat

Derivasi Fungsi

Ada beberapa teorema tentang diferensiasi fungsi yang mempermudah perhitungan:

1. Jika fungsi f(x) = g, dimana nilai g adalah konstanta, maka turunan dari fungsi f'(x) = 0.

2. Turunan fungsi dengan persamaan f(x) = bxᵅ dapat dihitung secara sederhana dengan:

f’ (x) = a. bxᵅˉ¹

Baca Juga :  Fungsi Tulang Jari Tangan : Struktur Bagian, Jenis Tulang Penyusun dan Cedera Tulang Jari Tangan

Contohnya menghitung turunan dari fungsi f (x) = 4x⁵. Turunan dari fungsi ini adalah:

f’ (x) = 4 (5) x⁵ˉ¹
f’ (x) = 20 x⁴

3. Jika g adalah fungsi, dimana k adalah konstanta dengan fungsi fa didefinisikan oleh persamaan berikut:

f (x) = kg (x), untuk turunan g adalah:

f’ (x) = kg’ (x)

4. Jika g dan h adalah dua fungsi, dengan f fungsi tersebut didefinisikan dengan persamaan f(x) = g(x) + h(x). Jika fungsi g dan h memiliki turunannya menjadi:

f’ (x) = g’ (x) + h’ (x)

5. Jika g dan h adalah dua fungsi, dengan f fungsi tersebut didefinisikan dengan persamaan f(x) = g(x). h(x). Jika fungsi g dan h memiliki turunannya menjadi:

f’ (x) = g'(x) . h(x) + h'(x) . g(x)

6. Jika g dan h adalah dua fungsi, dengan f fungsi tersebut didefinisikan oleh persamaan

1678157979 903 Turunan Pengertian Macam Rumus Contoh Soal

Jika fungsi g dan h memiliki turunannya menjadi:

1678157979 132 Turunan Pengertian Macam Rumus Contoh Soal

Turunan Fungsi Aljabar

Dalam fungsi aljabar f(x), rumus berikut berlaku untuk fungsi aljabar:

1678157979 855 Turunan Pengertian Macam Rumus Contoh Soal

Turunan Akar

Untuk fungsi berbentuk akar, seperti

1678157979 681 Turunan Pengertian Macam Rumus Contoh Soal

maka turunan dari fungsinya adalah:

1678157979 893 Turunan Pengertian Macam Rumus Contoh Soal

Sedangkan jika fungsinya berupa

1678157979 732 Turunan Pengertian Macam Rumus Contoh Soal

maka turunan berikut berlaku untuk itu:

1678157979 480 Turunan Pengertian Macam Rumus Contoh Soal

Pelajari Juga Fungsi Kuadrat

Contoh Soal Derivatif

Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:

A. f(x) = x²
B. f(x) = 6x
C. f(x) = 6

Diskusi

Menjawab:

A. Bentuk fungsi f(x) = x² merupakan fungsi kuadrat yang membentuk kurva melengkung ke atas. Karena membentuk garis lengkung, garis singgungnya akan berada di sepanjang kurva. Jadi gradien garis singgung akan berbeda di setiap titik kurva.

1678157979 479 Turunan Pengertian Macam Rumus Contoh Soal

Jadi, jika Anda ditanya apa turunan pertama dari fungsi f (x) = x² di titik x = 5, substitusikan saja ke:
f’ (5) = 2 . 5 = 10

B. f(x) = 6x

Fungsi f(x) = 6x jika dibuat grafiknya akan membentuk garis lurus yang tidak sejajar dengan sumbu X dan Y karena merupakan fungsi linier. Bentuk fungsi linier adalah y = mx + c. Gradien fungsi linier ini adalah koefisien dari variabel x (m), yaitu 6.

Baca Juga :  Larutan Penyangga: Pengertian, Fungsi, Rumus, Soal
1678157979 96 Turunan Pengertian Macam Rumus Contoh Soal

C. Fungsi f(x) = 6 merupakan fungsi konstanta karena pada saat dibuat grafik berbentuk garis sejajar sumbu X di titik y = 6. Grafik yang sejajar sumbu X bersinggungan dengan fungsi yang juga flat sehingga tidak memiliki nilai gradien alias slope = 0.

Sehingga turunan dari fungsi f(x) = 6 adalah 0. Buktikan dengan rumus :

1678157979 770 Turunan Pengertian Macam Rumus Contoh Soal

Tentukan berapa banyak turunan fungsi f’ (x) dari f (x) = 6x⁵ – 4x⁴ – 8x³ + 2x + 5

Diskusi

Menjawab:

f(x) = 6x⁵ – 4x⁴ – 8x³ + 2x + 5

f’ (x) = 5 (6)x⁵ˉ¹ – 4 (4)x⁴ˉ¹ – 3 (8)x³ˉ¹ + 1 (2)x¹ˉ¹ + 0

f’ (x) = 30x⁴ – 16x³ – 24x² + 2

Cari turunan fungsi f’ (x) dari fungsi f(x) = (x⁵ + 3x³) (2x⁴ – 4x²)

Diskusi

Menjawab:

Misalkan g(x) = (x⁵ + 3x³) dan h(x) = (2x⁴ – 4x²)

f’ (x) = g'(x) . h(x) + h'(x) . g(x)

f’ (x) = (5x⁴ + 9x²) (2x⁴ – 4x²) + (8x³ – 8x) (x⁵ + 3x³)

f’ (x) = (10x⁸ – 20x⁶ + 18x⁶ – 36x⁴) + (8x⁸ + 24x⁶ – 8x⁶ – 24x⁴)

f’ (x) = 18x⁸ + 14x⁶ – 60x⁴

Pelajari Lebih Lanjut Kumpulan Contoh Soal Derivatif

Kesimpulan

Materi turunan masih erat kaitannya dengan materi yang telah dipelajari sebelumnya mengenai konsep fungsi dan limit fungsi. Secara definisi, turunan suatu fungsi di suatu titik juga dapat diartikan sebagai kemiringan atau gradien dari garis singgung fungsi di titik tersebut.

mejakelas.com

Berita Terkait

Bagaimana Cara Membuat Media Pembelajaran Interaktif? Begini Penjelasannya
Bagaimana Pembelajaran Yang Sesuai Dengan Tahap Perkembangan Siswa SD Menurut Piaget?
Materi Bahasa Inggris Kelas 9 Semester 1 Kurikulum Merdeka
Materi Bahasa Inggris Kelas 9 Semester 1 Kurikulum Merdeka
Dalam Rantai Makanan Tumbuhan Hijau Berfungsi Sebagai…..
Contoh Soal IPA Kelas 8 SMP MTs Kurikulum Merdeka Bab 2 Struktur dan Fungsi Tubuh Makhluk Hidup
Materi Biologi Kelas 11 Kurikulum Merdeka Lengkap
20 Soal Matematika Kelas 4 Semester 2 Kurikulum Merdeka
Berita ini 4 kali dibaca

Berita Terkait

Kamis, 11 Juli 2024 - 21:23 WIB

Bagaimana Cara Membuat Media Pembelajaran Interaktif? Begini Penjelasannya

Sabtu, 6 Juli 2024 - 17:04 WIB

Bagaimana Pembelajaran Yang Sesuai Dengan Tahap Perkembangan Siswa SD Menurut Piaget?

Kamis, 27 Juni 2024 - 11:03 WIB

Materi Bahasa Inggris Kelas 9 Semester 1 Kurikulum Merdeka

Rabu, 26 Juni 2024 - 20:15 WIB

Materi Bahasa Inggris Kelas 9 Semester 1 Kurikulum Merdeka

Senin, 24 Juni 2024 - 16:11 WIB

Dalam Rantai Makanan Tumbuhan Hijau Berfungsi Sebagai…..

Berita Terbaru