Kuasai Materi Permutasi dan Kombinasi dengan Conrtoh Soalnya

Hai Sobat, di Matematika kadang kamu diminta untuk mengurutkan suatu benda ya? Nah cara memilahnya juga diperhatikan, Kamu tahu. Ada yang urutannya tidak bisa dibalik, misalnya urutan juara olimpiade 1 – 3 dan ada juga yang urutannya random atau bebas, misalnya gurumu akan memilih secara acak tiga siswa di kelas untuk mengikuti lomba sprint. . Tahukah Anda bahwa urutan seperti itu dipelajari dalam permutasi dan kombinasi, Kamu tahu. Memang, apa yang dimaksud dengan permutasi dan kombinasi? Yuk, lihat selengkapnya!

Permutasi

Dalam mempelajari permutasi, ada beberapa hal yang harus diketahui, yaitu pengertian, jenis, dan contoh penerapannya. Berikut pembahasan lengkap ketiganya.

Definisi Permutasi

Permutasi adalah sejumlah cara untuk mengatur elemen sehubungan dengan pesanan. Karena memperhatikan urutan, maka kedudukan unsur-unsur tersebut tidak dapat dibalik atau ditukar. Misalnya, dari 5 calon pengurus kelas, dipilih empat pengurus yang akan menempati posisi ketua, wakil, sekretaris, dan bendahara. Kira-kira, ada berapa cara untuk memilihnya? Dari hal ini, setiap calon terpilih akan menduduki jabatan atau posisi tertentu yang tidak dapat ditukar dengan calon lain. Itu sebabnya dalam contoh pemilihan calon administrator kelas, berlaku permutasi. Permutasi R dari N elemen yang tersedia dapat dinyatakan sebagai P(n, r).

Jenis Permutasi

Berdasarkan unsur penyusunnya, permutasi dibedakan menjadi empat macam, yaitu permutasi dengan semua unsur yang berbeda, permutasi terbatas pada beberapa unsur yang berbeda, permutasi dengan beberapa unsur yang sama, dan permutasi siklik. Apa bedanya keempatnya?

Permutasi dengan semua elemen yang berbeda

Hasil permutasi R Untuk N elemen yang berbeda, di mana R ≤ N dapat ditentukan dengan rumus berikut.

Dengan:

P^N_R = P(n, r) = permutasi R elemen untuk N elemen yang berbeda;

N = jumlah elemen; Dan

R = kriteria elemen yang akan di permutasi.

Ingat, R Dan N termasuk himpunan bilangan bulat, ya.

Jika R = Nmaka persamaannya menjadi:

Contoh penerapan jenis permutasi ini adalah:

Kepala Sekolah SMA Makmur meminta petugas TU menyusun 4 digit nomor ujian dengan menggunakan urutan nomor 1 – 6. Berapa banyak kemungkinan susunan nomor ujian yang dapat dibentuk?

Diskusi:

Dikenal:

N = 6 (jumlah angka yang bisa dipilih)

R = 4 (angka yang dipilih)

diminta: P^N_R =…?

Menjawab:

Kepala sekolah memberikan pilihan nomor 1-6, sedangkan hanya 4 nomor yang harus digunakan. Karena bilangan uji berlaku berurutan, gunakan persamaan permutasi berikut.

Jadi, susunan bilangan ujian yang dapat dibentuk adalah 360.

Permutasi dengan pembatasan beberapa elemen yang berbeda

Secara konseptual, permutasi ini hampir sama dengan permutasi sebelumnya. Namun dibatasi oleh beberapa syarat, misalnya 6 orang anak yang terdiri dari 3 laki-laki dan 3 perempuan. Keenam anak itu duduk di sebuah bangku panjang, dengan syarat kedua ujung bangku itu harus diisi oleh anak laki-laki. Berapa banyak cara duduk yang dapat dibentuk? Dalam hal ini ada dua batasan permutasi, yaitu permutasi untuk menentukan jumlah posisi anak laki-laki yang akan diisi ujung bangku dan permutasi sisa kursi setelah kedua ujungnya diisi oleh anak laki-laki. Solusi untuk kasus di atas adalah:

Pertama-tama, gambarkan posisi bangku dan kondisinya.

Banyaknya susunan yang mungkin dari anak laki-laki :

N = 3

R = 2

Karena itu:

Setelah kedua ujungnya diisi oleh anak laki-laki, maka jumlah kursi yang tersisa adalah 4. Keempat kursi tersebut akan diisi oleh empat anak yang tersisa, jadi:

N = 4

R = 4

Diperoleh:

Banyaknya cara yang berbeda untuk mengisi bangku tersebut adalah 6×24 = 144 cara.

Permutasi dengan beberapa elemen yang sama

Jika dalam suatu unsur terdapat beberapa unsur yang sama, kemudian Anda diminta untuk menentukan permutasi dari unsur-unsur tersebut, Anda dapat menggunakan persamaan di bawah ini.

Dengan:

P = permutasi;

N = jumlah total elemen dalam suatu elemen;

R₁ = jumlah elemen dari 1 yang sama;

R₂ = jumlah elemen 2 sama;

R₃ = jumlah elemen dari 3 yang sama; Dan

R_N = jumlah elemen N yang sama.

Permutasi jenis ini biasanya digunakan untuk menentukan jumlah susunan huruf dalam suatu kata. Misalnya permutasi kata “INDONESIA”, “SEKOLAH”, “BAHASA”, dan sebagainya. Perhatikan contoh berikut.

Tentukan banyaknya permutasi dari kata INDONESIA.

Diskusi:

Dikenal:

N = 9

R₁ = 2 (jumlah huruf I)

R₂ = 2 (jumlah huruf N)

diminta: P =…?

Menjawab:

Untuk menentukan banyaknya permutasi kata INDONESIA, gunakan persamaan di bawah ini.

Jadi, banyaknya permutasi kata INDONESIA adalah 90.720.

Permutasi siklik

Permutasi siklis adalah banyaknya cara untuk menyusun suatu objek dalam lingkaran. Secara matematis, permutasi siklik dirumuskan sebagai berikut.

Dengan:

P_S = permutasi siklik; Dan

N = jumlah elemen

Misalnya, lima anak akan duduk melingkar. Berapa banyak cara kelima anak tersebut dapat duduk?

Diskusi:

Dikenal:

N = 5

diminta: P_S = …?

Menjawab:

Tentukan permutasi siklik menggunakan rumus di bawah ini.

Jadi, banyaknya cara kelima anak duduk melingkar adalah 24.

Kombinasi

Kombinasi adalah cara menyusun suatu unsur tanpa memperhatikan urutan. Artinya, kombinasi ini kebalikan dari permutasi. Mengapa? Karena dalam permutasi, urutan sangat penting. Contoh kombinasi adalah ketika guru Anda secara acak memilih 4 anak di kelas Anda untuk mengikuti upacara HUTRI di lapangan, dimana pemilihannya dilakukan secara acak tanpa memperhatikan urutan tertentu.

Formula Kombinasi

Kombinasi yang biasa dilambangkan sebagai C. Untuk kombinasi R elemen dari N elemen yang berbeda dilambangkan sebagai C_R^N. Secara matematis, rumus kombinasi R elemen dari N Unsur-unsur yang berbeda dinyatakan sebagai berikut.

Dengan:

C_R^N = kombinasi R elemen dari N elemen yang berbeda;

N = jumlah elemen; Dan

R = jumlah elemen gabungan

Perhatikan kembali rumus kombinasi di atas!

Rumus kombinasi dapat digambarkan sebagai:

Artinya, kombinasi adalah hasil pembagian antara permutasi dari jumlah elemen yang digabungkan.

Untuk lebih jelasnya, lihat contoh soal di bawah ini.

Dalam rangka memperingati HUTRI ke-77, wali kelas XII A1 memilih lima siswa secara acak untuk mengikuti upacara. Jika banyak siswa XII A1 adalah 38, tentukan banyaknya barisan yang mungkin!

Diskusi:

Dikenal:

R = 5

N = 38

diminta: C₅³⁸ =…?

Menjawab:

Jumlah kemungkinan urutan, Anda dapat menentukan dengan rumus berikut.

Jadi, banyaknya barisan yang mungkin adalah 501.942.

Contoh soal

Apakah Anda memahami materi permutasi dan kombinasi ini? Jika iya, mari asah pemahaman Anda dengan contoh soal berikut ini.

Contoh Soal 1

Seorang pustakawan sedang mengatur buku pelajaran di rak. Tepat di rak paling atas terdapat 3 buku Matematika, 2 buku Bahasa Inggris, dan 4 buku Sejarah. Jika buku-buku sejenis harus disusun berdampingan, tentukan banyaknya cara menyusun buku-buku tersebut!

Diskusi:

Dalam pertanyaan tersebut terdapat informasi bahwa buku-buku sejenis diletakkan berdampingan. Artinya, buku Matematika disusun berdampingan dengan buku Matematika, buku Bahasa Inggris dan juga Sejarah.

Artinya, Anda harus mencari kemungkinan susunan buku seperti itu.

Penataan buku Matematika P₃³

susunan buku bahasa inggris P₂²

Penataan buku sejarah P₄⁴

Jadi, banyaknya cara menyusun semua buku adalah 6 × 2 × 24 = 288.

Jadi, banyaknya cara menyusun semua buku adalah 288.

Contoh Soal 2

Di meja perjamuan, ada 3 pria dan 4 wanita duduk melingkar. Jika tamu laki-laki berkumpul dengan tamu laki-laki, tentukan banyaknya susunan tempat duduk para tamu tersebut!

Diskusi:

Dalam pertanyaan disebutkan bahwa para tamu duduk melingkar. Artinya, ada permutasi siklik. Karena tamu laki-laki berkumpul, maka tamu laki-laki ditandai sebagai satu unsur. Untuk itu, cari dulu kemungkinan formasi tempat duduk ketiga tamu pria tersebut.

Ketiga tamu tersebut ditandai sebagai hanya satu tamu (karena selalu bersama), sehingga total ada 4 tamu wanita + 1 tamu pria = 5 tamu.

Banyaknya susunan tempat duduk tamu = 6×24 = 144.

Contoh Soal 3

Dalam sebuah kotak terdapat 10 tasbih merah dengan motif berbeda dan 5 tasbih kuning dengan motif berbeda. Dari total manik-manik yang tersedia, Diah hanya ingin menyusun 10 manik-manik, dengan syarat yang digunakan hanya 3 manik-manik kuning. Temukan banyak cara menyusun manik-manik!

Diskusi:

Pertama, tentukan banyaknya cara menyusun manik-manik kuning. Dari 5 tasbih kuning, hanya 3 yang akan digunakan, jadi:

Setelah diisi dengan 3 manik kuning, masih ada 7 manik lagi kan? Tujuh manik-manik disusun secara acak dari 10 manik-manik merah. Karena itu:

Aturan perkalian total, susunan total yang mungkin adalah sebagai berikut.

Jadi, banyaknya cara menyusun manik-manik tersebut adalah 1.200.

Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bermanfaat dan menambah wawasan Sobat. Untuk mendapatkan materi lengkapnya, buruan gabung dengan Quipper Video. Salam Quippers!