Konsep logika dalam matematika berperan penting dalam melatih berpikir rasional dan kritis. Materi logika juga sangat berguna dalam membangun algoritma perangkat lunak atau software. Di bawah ini adalah pengertian logika matematika dan contoh soal logika matematika lengkap.
Memahami Logika Matematika
Logika matematika adalah landasan atau cara penalaran dalam matematika yang digunakan untuk menarik suatu kesimpulan. Dengan adanya logika matematis, pernyataan yang disajikan dapat diverifikasi berdasarkan bukti dan pemikiran rasional.
Dalam materi Logika Matematika terdapat beberapa materi yang penting untuk dipelajari yaitu negasi, disjungsi, konjungsi, implikasi dan biimplikasi.
Penolakan
Penolakan adalah negasi atau penyangkalan terhadap pernyataan yang dinegasikan. Misalnya, jika pernyataan P benar, maka negasi atau lingkaran P salah. Lingkaran dilambangkan dengan ~.
Konjungsi (^)
Konjungsi adalah pernyataan majemuk yang menghubungkan beberapa pernyataan dengan konjungsi “dan”. Nilai kebenaran konjungsi (^) benar jika kedua pernyataan juga benar. Sedangkan jika salah satu atau kedua pernyataan salah, maka nilai kebenaran konjungsi juga salah.
Disjungsi (V)
Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menghubungkan beberapa pernyataan dengan konjungsi “atau”. Nilai kebenaran suatu disjungsi akan selalu benar jika salah satu pernyataannya benar. Sedangkan jika kedua pernyataan salah, maka nilai kebenaran disjungsi juga salah.
Implikasi (⇒)
Implikasi adalah pernyataan majemuk yang memiliki konjungsi “Jika…maka…”. Berikut adalah tabel nilai kebenaran implikasi
Biimplikasi (⇔)
Biimplikasi adalah pernyataan majemuk yang memiliki konjungsi “… jika dan hanya jika…”. Di bawah ini adalah tabel nilai kebenaran biimplikasi:
Daftar Contoh Soal Logika Matematika Beserta Pembahasannya
Tentukan lingkaran pernyataan di bawah ini:
A. Jika desa mengadakan pengabdian masyarakat, maka seluruh masyarakat ikut serta dalam pengabdian masyarakat.
B. Jika ayah sedang berlibur di rumah paman, maka semua anak paman dengan senang hati menyambutnya
Diskusi
Menjawab:
A. Desa mengadakan pengabdian masyarakat: q
Seluruh masyarakat mengikuti pengabdian masyarakat dengan tekun: r
Negasi: ~(q ⇒ r) = (q ^ ~r)
Sehingga pernyataan yang ditolak adalah “Desa mengadakan pengabdian masyarakat dan ada masyarakat yang tidak mengikuti pengabdian masyarakat”.
B. Ayah sedang berlibur di rumah paman :p
Semua anak paman senang menyambutnya :g
Pengurangan: ~(p ⇒ g) = (p ^ ~g)
Sehingga pernyataan “Ayah sedang berlibur di rumah paman dan anak paman tidak senang”.
Ada tiga premis yang harus disimpulkan sebagai berikut:
Premis I: Jika ujian sekolah selesai, adik-adik bermain sampai jam 5 sore
Premis II: Anda tidak bermain sampai jam 5 sore atau menonton TV sampai larut malam
Premis III: Anda tidak menonton TV sampai larut malam
Diskusi
Menjawab:
Ada 3 premis yang disajikan dari permasalahan di atas. Maka untuk menarik kesimpulan dari ketiga premis tersebut, pertama-tama disimpulkan bahwa premis I dan II harus digabungkan terlebih dahulu menjadi premis III.
j: Ujian sekolah sudah selesai
k : Abang main sampai jam 5 sore
m: Kamu nonton TV sampai larut malam
1) Premis I dan II disimpulkan terlebih dahulu
Premis I: j ⇒ k
Premis II: ~k Vm setara dengan k ⇒ m
Jadi bentuk penarikan logisnya menjadi:
j ⇒ k
k ⇒ m
Kesimpulan j ⇒ m (Silogisme)
2) Kesimpulan premis I dan II kemudian dihubungkan dengan premis III untuk menarik kesimpulan:
Premis I dan II: j ⇒ m
Premis III: ~m
Kesimpulan: ~j (Modus Tollens)
Kesimpulan akhir adalah “Ujian sekolah belum selesai”
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan q ^ r berikut:
a) q: 12 x -3 = -36, r: 9 adalah bilangan bulat
b) q: Ayam adalah unggas, r: Ayam adalah mamalia
Diskusi
Menjawab:
a) q: 12 x -3 = -36 (pernyataan ini benar)
r: 9 adalah bilangan bulat (pernyataan ini benar)
q ^ r: 12 x -3 = -36 dan 9 adalah bilangan bulat (pernyataan ini benar)
b) q: Ayam adalah unggas (pernyataan ini benar)
r: Ayam adalah mamalia (pernyataan ini salah)
Sehingga q^r : “Ayam adalah Unggas (Benar) dan Ayam adalah Hewan Mamalia (Salah)” maka nilai kebenarannya adalah Salah.
Tentukan negasi dari premis berikut:
a) Pulau Jawa merupakan pulau dengan penduduk terpadat di Indonesia dan ibu kota Indonesia berada di Pulau Jawa
b) Beras merupakan sumber karbohidrat atau buah apel yang bergizi
Diskusi
Menjawab:
Untuk menentukan kebatalan premis di atas, digunakan Hukum De Morgan sebagai berikut:
~ (c ^ d) ≡ ~ c V ~ d
~ (c Vd) ≡ ~c ^ ~d
a) Premis c dan d pertanyaan pertama:
c = Pulau Jawa merupakan pulau terpadat di Indonesia
d = ibu kota Indonesia berada di Pulau Jawa
Maka negasinya adalah: ~ (c ^ d) ≡ ~c V ~d
“Tidak benar pulau Jawa merupakan pulau terpadat di Indonesia atau ibu kota Indonesia tidak berada di pulau Jawa.”
b) Premis c dan d dari soal kedua:
c = Beras merupakan sumber karbohidrat
d = Apel adalah buah yang bergizi
Maka negasinya adalah: ~ (c V d) ≡ ~c ^ ~d
“Tidak benar nasi merupakan sumber karbohidrat dan apel bukanlah buah yang bergizi”
Buatlah kesimpulan dari kedua premis di bawah ini:
p: Kalau hujan deras Doni tidak ikut les
q: Kalau Doni tidak ikut les terus orang tua Doni bingung
Diskusi
Menjawab:
Kesimpulan dari kedua premis di atas adalah: “Kalau hujan deras, orang tua Doni bingung.”
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan implikasi q è r dengan bunyi pernyataan q dan r adalah :
q: Angka 10 adalah bilangan bulat genap
r: Indonesia adalah negara tropis
A. q ⇒ r
B. ~q ⇒ ~r
Diskusi
Menjawab:
A. q ⇒ r : “Jika angka 10 adalah bilangan bulat genap (Benar) maka Indonesia adalah negara tropis (Benar)” maka pernyataan tersebut benar.
B. ~q ⇒ ~r : “Jika angka 10 bukan bilangan bulat genap (Salah) maka Indonesia bukan negara tropis (Salah)” maka pernyataan tersebut benar
Kumpulan contoh soal logika matematika di atas terdiri dari negasi, implikasi, biimplikasi, konjungsi dan disjungsi. Untuk memperkuat pemahaman materi logika matematika, siswa harus sering berlatih mengerjakan soal logika matematika dalam berbagai bentuk soal.
mejakelas.com
