Hai Sobat, apakah Anda pernah mendengar istilah limit? Batas pasti identik dengan perkiraan fungsi pada nilai tertentu. Artinya, batasnya tidak tepat ke satu nilai, tetapi hanya mendekatinya. Lalu, bagaimana jika nilai yang didekati menjadi tak terhingga? Untuk kasus tak hingga seperti ini, kamu bisa menyelesaikannya dengan konsep limit tak hingga. Lalu, apa yang dimaksud dengan limit tak terhingga? Daripada penasaran, yuk simak selengkapnya!

Definisi Batas Tak Terbatas

Batas tak hingga adalah perkiraan fungsi ke nilai yang besarnya tak terbatas, baik negatif tak hingga atau positif tak hingga (-∞ ke ∞). Sebelum masuk ke konsep limit, Anda harus memahami seperti apa pembagian suatu bilangan dengan bilangan tak terhingga. Jika suatu bilangan dibagi dengan tak terhingga, hasilnya akan sangat kecil. Bahkan bisa mendekati nol. Oleh karena itu, pembagian suatu bilangan dengan bilangan tak terhingga dianggap sama dengan nol. Contoh:

Jika suatu bilangan dikalikan dengan bilangan tak terhingga, sudah pasti hasilnya juga bilangan tak terhingga, misalnya 10 × ∞ = ∞.

Anda dapat menggunakan konsep pembagian seperti contoh di atas sebagai dasar untuk mempelajari limit tak terhingga.

Jenis Batas Tak Terbatas

Berdasarkan fungsinya, limit tak hingga dibagi menjadi dua, yaitu limit fungsi aljabar dan limit fungsi trigonometri. Apa perbedaan antara kedua batasan tersebut?

Batas Tak Terbatas dari Fungsi Aljabar

Limit fungsi aljabar adalah limit yang fungsinya merupakan fungsi aljabar. Hal-hal yang akan kamu pelajari tentang limit tak hingga fungsi aljabar adalah sebagai berikut.

Bentuk Dasar Batas Tak Terbatas

Bentuk dasar limit fungsi tak hingga sama dengan bentuk limit fungsi lainnya. Hanya saja limit dari variabel limit ini adalah bilangan tak terhingga (∞). Bentuk umum dari limit tak hingga adalah:

Dengan:

F (X) = fungsi; Dan

X = variabel fungsi.

Daripada penasaran, berikut contoh bentuk limit tak hingga.

Coba ganti nilainya X = ∞. Hasil apa yang Anda dapatkan? Pasti sedikit membingungkan ya? Ada beberapa bentuk tak tentu yang harus Anda hindari saat bekerja dengan batas tak terbatas, yaitu:

• Membentuk
• Formulir ∞ – ∞
• Bentuk ∞ × ∞

Bagaimana cara menghindari bentuk-bentuk di atas? Anda harus memanipulasi fungsi sedemikian rupa sehingga Anda mendapatkan hasil yang tidak sama dengan bentuk yang disebutkan. Pada contoh _{kira-kira bagaimana bentuk manipulasi fungsi?}

Anda dapat membagi fungsi di atas dengan variabel dengan penyebut pangkat tertinggi, yaitu 1/X. Karena itu:

Jadi, nilai limit fungsinya adalah ∞.

Bentuk Batas Tak Terbatas dari Fungsi Aljabar

Untuk memudahkan Anda dalam menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan limit tak terhingga, ada beberapa bentuk yang bisa Anda jadikan acuan. Dari formulir ini, Anda akan mendapatkan trik cepat untuk menyelesaikan batas fungsi tak terbatas.

Formulir Pertama

Bentuk pertama berlaku untuk fungsi derajat polinomial pecahan yang dilambangkan sebagai ps(X) Dan Q(X).

Jika didapatkan bentuk limit fungsi seperti di atas, lakukan manipulasi dengan cara membagi pembilang dan penyebutnya dengan variabel pangkat tertinggi yang sama dengan penyebutnya.

Tanpa manipulasi fungsi, bentuk akhir akan diperoleh _.

Dengan memanipulasi fungsi sedemikian rupa, kami memperoleh solusi seperti di bawah ini.

• Jika nilai M = Nmaka hasil limit = _.
• Jika nilai M < N maka hasil limitnya adalah 0.
• Jika M > N maka terdapat 2 hasil untuk fungsi limit yaitu for _{hasilnya adalah ∞, sedangkan untuk hasilnya adalah -∞.}

Perhatikan contoh berikut.

Tentukan hasil limit tak hingga berikut.

Diskusi:

Dari fungsi di atas, diperoleh:

M = 1

N = 2

Karena itu M < Nmaka hasil limit = 0.

Jadi, _{= 0.}

Ingin membuktikan secara langsung? Cobalah membagi fungsi dengan pangkat tertinggi dari variabel penyebut.

Dari perhitungan manual, kita mendapatkan hasil yang sama bukan?

Artinya, ketika Sobat menemukan batas tak terhingga yang memenuhi sifat pertama ini, lihat dulu pangkat tertinggi di pembilang dan penyebutnya, ya.

Bentuk Kedua

Bentuk kedua ini termasuk bentuk pecahan yang penyebutnya berisi variabel dengan pangkat sebagai berikut.

Jika Anda mengganti nilai ∞, Anda akan mendapatkan hasilnya:

Artinya, bentuk kedua dari limit fungsi tak terhingga ini selalu sama dengan nol.

Bentuk Ketiga

Bentuk ketiga adalah hasil pengurangan dua fungsi dalam bentuk akar.

Kalau ketemu limit function seperti di atas, jangan lupa dikalikan dengan akar persekutuan ya? Jika tidak, Anda mengalikan akar dari sekelompok akar untuk mendapatkan bentuk ∞ – ∞.

Coba ganti nilainya X = ∞ dalam persamaan (1).

Kesimpulan apa yang kamu peroleh dari persamaan (1)? Dari persamaan (1) dapat disimpulkan bahwa:

• Untuk ps = Q batas hasil adalah 0.
• Untuk ps > Qmaka hasil limitnya adalah ∞.
• Untuk ps < Qhasil limitnya adalah -∞.

Berdasarkan persamaan (2) dapat dilihat: jika ps > Qmaka hasil limitnya adalah ∞ dan jika ps < Qmaka hasil limitnya adalah -∞.

Bentuk Keempat

Bentuk keempat hampir sama dengan bentuk ketiga. Hanya saja pangkat variabel tertinggi adalah polinomial 2 atau derajat 2.

Cara menyelesaikan limit fungsi tak terhingga bentuk keempat bisa menggunakan langkah yang sama dengan bentuk ketiga yaitu mengalikan dengan akar persekutuan.

Melalui perkalian ini, kita mendapatkan:

Dari persamaan (1), berlaku rumus cepat berikut.

• Untuk ps > Qhasil limitnya adalah ∞.
• Untuk ps = Qhasil batas _.
• Untuk p hasil limitnya adalah -∞.

Biar lebih yakin, mari kita lihat contoh di bawah ini.

Tentukan hasil _!

Diskusi:

Cara tercepat untuk mengerjakan soal ini adalah merujuk pada rumus cepat yang berlaku untuk bentuk keempat dari fungsi limit.

Dari _{diketahui bahwa koefisien pangkat tertinggi adalah sama yaitu 2, dengan B = 1, ps = 2, dan C = -4. Maka hasil limitnya adalah:}

Bentuk Kelima

Di antara bentuk-bentuk sebelumnya, bentuk kelima ini memiliki persamaan fungsional yang cukup sederhana, yaitu:

Lihat contoh di bawah ini, ya?

Tentukan nilai limit dari fungsi berikut.

Diskusi:

Nilai batas diperoleh dengan mensubstitusi nilai variabel dalam fungsi. Karena fungsi 5X⁴ tidak dapat dimanipulasi seperti fungsi sebelumnya, sehingga jelas hasilnya = ∞.

Jadi,

Batas Tak Terbatas dari Fungsi Trigonometri

Limit fungsi trigonometri adalah limit yang fungsinya merupakan fungsi trigonometri. Contoh limit tak hingga fungsi trigonometri adalah sebagai berikut.

Bentuk Batas Tak Terbatas dari Fungsi Trigonometri

Sama seperti limit fungsi aljabar, limit fungsi trigonometri juga memiliki bentuk tertentu yang bisa kamu gunakan sebagai acuan dalam menyelesaikan hasilnya.

Formulir Pertama

Bentuk pertama adalah fungsi pecahan, di mana penyebutnya adalah variabel sebagai berikut.

Jika Anda menjumpai bentuk di atas, hasil limit harus sama dengan nol.

Bentuk Kedua

Bentuk kedua adalah limit X mendekati ∞ dari fungsi trigonometri sinX atau cos X. Secara matematis dapat dinyatakan sebagai berikut.

Persamaan di atas berlaku untuk semua besaran sudut ya. Misalnya 2X3Xdll.

Bentuk Kedua

Bentuk ketiga adalah fungsi trigonometri di mana sudutnya adalah pecahan, di mana penyebutnya adalah variabel.

Untuk lebih jelasnya, lihat contoh berikut.

Tentukan hasil limit dari fungsi berikut.

Diskusi:

Pertama, jelaskan berdasarkan sifat-sifat limitnya.

Karena itu _Jadi:

Jadi, hasil limitnya adalah 4.

Langkah-langkah Menyelesaikan Limit Tak Terbatas

Walaupun limit suatu fungsi tak terhingga memiliki beberapa bentuk, namun langkah pengerjaannya sama, yaitu sebagai berikut.

Identifikasi Bentuk Batas

Langkah pertama adalah mengidentifikasi bentuk fungsi limit. Artinya, fungsi memenuhi bentuk pertama, bentuk kedua, atau bentuk lainnya. Langkah identifikasi ini dapat memudahkan Anda untuk memilih solusi tercepat pada hasil limit tak terhingga.

Nilai Pengganti X = ∞ Pada Batas Fungsinya

Langkah kedua, cobalah untuk mengganti nilai X = ∞. Setelah Anda mengganti, tentukan bentuk akhir dari limit.

Melakukan Manipulasi Fungsi

Langkah ketiga adalah memanipulasi fungsi agar tidak mengubah nilai fungsi itu sendiri. Manipulasi ini bertujuan untuk menghindari bentuk tak tentu seperti yang telah disebutkan sebelumnya.

Contoh Pertanyaan Batas Tak Terbatas

Agar Anda lebih paham, mari kita pelajari contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1

Tentukan hasil limit tak hingga berikut.

Diskusi:

Pertama, kalikan dengan pembilang.

Limit fungsi tak hingga di atas memenuhi bentuk pertama, dengan M = N = 2, A_ps = 1, dan A_Q = 4. Artinya, gunakan properti berikut.

“Kalau nilainya M = Nmaka hasil limit = _”

Karena itu:

Jika Anda tidak puas dengan cara cepat di atas, silakan manipulasi fungsinya. Untuk melakukannya, bagilah pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi dalam penyebut, yaitu 1/x².

Dengan manipulasi fungsi, hasil yang sama diperoleh dengan cara cepat yaitu ¼.

Jadi, hasil limitnya adalah ¼.

Contoh Soal 2

Tentukan nilai limit berikut.

Diskusi:

Menurut Sobat, bentuk apakah yang dipenuhi oleh limit fungsi di atas? Ya itu betul. Batas fungsi di atas memenuhi bentuk keempat, yaitu _.

Karena itu:

Dari persamaan tersebut diperoleh:

ps = 4

Q = 1

Karena itu ps > Qmaka hasil limitnya adalah ∞.

Jadi, nilai _{adalah ∞.}

Mudah kan?

Contoh Soal 3

Tentukan hasil limit berikut.

Diskusi:

Untuk menyelesaikan limit fungsi tak hingga trigonometri di atas, terlebih dahulu gambarkan bentuk fungsinya sebagai berikut.

Jadi, hasil limitnya adalah 3.

Ternyata belajar limit infinite itu mudah kan? Tetap semangat ya!

Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bermanfaat untuk para Sobat. Ingin mendapatkan materi lengkapnya? Ayo buruan gabung dengan Quipper Video. Salam Quippers!