Pengertian Fungsi Kuadrat: Rumus, Grafik, Contoh Soal
Table of content:
Memahami Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat adalah jenis fungsi matematika yang memiliki bentuk umum y = ax^2 + bx + c. Dimana a, b, dan c adalah konstanta dan x adalah variabel. Konstanta a harus selalu lebih besar dari nol agar fungsi kuadrat memiliki parabola yang menghadap ke atas atau ke bawah.
Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial orde kedua karena variabelnya dipangkatkan dua. Bentuk umum fungsi kuadrat adalah parabola. Parabola adalah kurva berbentuk seperti busur yang dibentuk oleh persamaan kuadrat. Parabola dapat menghadap ke atas atau ke bawah tergantung nilai koefisien a.
Rumus Fungsi Kuadrat
Rumus umum fungsi kuadrat adalah y = ax^2 + bx + c. Dimana a, b, dan c adalah konstanta dan x adalah variabel. Untuk mencari nilai y pada suatu titik, kita dapat mengganti nilai x pada rumus.
Contoh:
Jika diberikan fungsi kuadrat y = 2x^2 + 3x – 4, carilah nilai y pada x = 5.
Baca Juga:
Menjawab:
Mengganti nilai x dalam rumus, kita mendapatkan:
y = 2(5)^2 + 3(5) – 4
y = 50 + 15 – 4
y = 61
Jadi nilai y pada x = 5 adalah 61.
Grafik Fungsi Kuadrat
Grafik fungsi kuadrat selalu berbentuk parabola. Parabola dapat menghadap ke atas atau ke bawah tergantung nilai koefisien a. Jika a > 0, maka parabola menghadap ke atas. Jika a < 0, maka parabola menghadap ke bawah.
Titik puncak parabola (titik puncak) dapat dicari menggunakan rumus x = -b/2a dan y = f(x). Sedangkan akar parabola (akar) dapat dicari dengan menggunakan rumus x = (-b ± √(b^2 – 4ac))/2a.
Baca Juga:
Contoh:
Diberikan fungsi kuadrat y = x^2 + 2x – 3. Temukan simpul dan akar dari fungsi tersebut.
Menjawab:
Untuk mencari titik puncaknya, kita bisa menggunakan rumus x = -b/2a dan y = f(x). Gantikan nilai a, b, dan c ke dalam rumus:
x = -2/(2*1) = -1
y = (-1)^2 + 2(-1) – 3 = -2
Jadi titik puncak parabola adalah (-1,-2).
Untuk mencari akarnya, kita bisa menggunakan rumus x = (-b ± √(b^2 – 4ac))/2a. Gantikan nilai a, b, dan c ke dalam rumus:
x = (-2 ± √(2^2 – 4(1)(-3)))/2(1)
x = (-2 ± √(16))/2
x1 = -1
x2 = -3
Baca Juga:
Jadi akar parabolanya adalah x1 = -1 dan x2 = -3.
Contoh Soal Fungsi Kuadrat
- Diketahui fungsi kuadrat y = 3x^2 + 2x + 1. Carilah nilai y pada x = -2.
Menjawab:
Mengganti nilai x dalam rumus, kita mendapatkan:
y = 3(-2)^2 + 2(-2) + 1
y = 12 – 4 + 1
y = 9
Jadi nilai y pada x = -2 adalah 9.
- Diberikan fungsi kuadrat y = -2x^2 + 5x – 3. Temukan simpul dan akar dari fungsi tersebut.
Menjawab:
Untuk mencari titik puncaknya, kita bisa menggunakan rumus x = -b/2a dan y = f(x). Gantikan nilai a, b, dan c ke dalam rumus:
x = -5/(2*(-2)) = 5/4
y = -2(5/4)^2 + 5(5/4) – 3 = -3/8
Jadi titik puncak parabola adalah (5/4,-3/8).
Untuk mencari akarnya, kita bisa menggunakan rumus x = (-b ± √(b^2 – 4ac))/2a. Gantikan nilai a, b, dan c ke dalam rumus:
x = (-5 ± √(5^2 – 4(-2)(-3)))/2(-2)
x = (5 ± √49)/(-4)
x1 = 1/2
x2 = -3
Baca Juga:
Jadi akar parabolanya adalah x1 = 1/2 dan x2 = -3.
Diskriminan Fungsi Kuadrat
Diskriminan suatu fungsi kuadrat adalah nilai yang terdapat pada akar-akar persamaan kuadrat tersebut, yaitu b^2 – 4ac. Diskriminan ini memberikan informasi tentang sifat-sifat parabola yang dihasilkan oleh fungsi kuadrat. Ada tiga kemungkinan nilai diskriminan, yaitu:
- Jika diskriminan lebih besar dari nol (b^2 – 4ac > 0), maka fungsi kuadrat memiliki dua akar real yang berbeda. Parabola yang dihasilkan oleh fungsi kuadrat membentuk grafik yang melintasi di atas atau di bawah sumbu x. Jika a > 0, maka parabola terbuka ke atas dan memiliki nilai terkecil pada perpotongan dengan sumbu x, sedangkan jika a < 0, maka parabola terbuka ke bawah dan memiliki nilai terbesar pada perpotongan dengan sumbu x.
- Jika diskriminan sama dengan nol (b^2 – 4ac = 0), maka fungsi kuadrat memiliki satu akar real yang bernilai ganda (akar ganda). Parabola yang dihasilkan oleh fungsi kuadrat menyentuh sumbu x di satu titik dan tidak memotong sumbu x. Titik perpotongan ini merupakan titik minimum atau maksimum dari fungsi kuadrat, bergantung pada tanda koefisien a.
- Jika diskriminan kurang dari nol (b^2 – 4ac < 0), then the quadratic function has no real roots. The parabola generated by the quadratic function does not intersect or touch the x-axis. The quadratic function is positive if a > 0 dan negatif jika a < 0. Parabola yang dihasilkan juga memiliki titik puncak di atas atau di bawah sumbu x, bergantung pada tanda koefisien a.
Dalam praktiknya, diskriminan fungsi kuadrat sering digunakan untuk menentukan jumlah dan jenis akar persamaan kuadrat, serta untuk menentukan posisi parabola terhadap sumbu x. Diskriminan juga dapat digunakan untuk menentukan apakah suatu fungsi kuadrat memiliki nilai maksimum atau minimum, dan menentukan apakah suatu fungsi kuadrat memiliki grafik yang melintasi atau tidak melintasi di atas atau di bawah sumbu x.
Akar Fungsi Kuadrat
Akar dari fungsi kuadrat adalah nilai x yang membuat fungsi kuadrat sama dengan nol. Dalam bentuk umum, fungsi kuadrat dapat ditulis sebagai y = ax^2 + bx + c, dengan a, b, dan c adalah konstanta. Untuk mencari akar fungsi kuadrat, kita perlu menyelesaikan persamaan kuadrat ax^2 + bx + c = 0.
Baca Juga:
Ada tiga kemungkinan hasil dari persamaan kuadrat, yaitu:
- Jika diskriminan (b^2 – 4ac) lebih besar dari nol, maka persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar real yang berbeda. Rumus untuk mencari akar persamaan kuadrat dalam kasus ini adalah x = (-b ± √(b^2 – 4ac))/2a.
- Jika diskriminan sama dengan nol, maka persamaan kuadrat tersebut memiliki satu akar real ganda. Rumus untuk mencari akar persamaan kuadrat dalam kasus ini adalah x = -b/2a.
- Jika diskriminan kurang dari nol, maka persamaan kuadrat tersebut tidak memiliki akar real. Dalam hal ini, akar persamaan kuadrat adalah bilangan kompleks konjugasi.
Setelah akar persamaan kuadrat ditemukan, kita dapat menggunakannya untuk menentukan titik potong sumbu x dan y. Jika akar persamaan kuadrat adalah x1 dan x2, maka titik potong dengan sumbu x adalah (x1, 0) dan (x2, 0), sedangkan titik potong dengan sumbu y adalah (0, c ).
Selain itu, akar persamaan kuadrat juga dapat digunakan untuk menentukan bentuk umum fungsi kuadrat. Jika akar persamaan kuadrat adalah x1 dan x2, maka bentuk umum fungsi kuadrat dapat ditulis sebagai y = a(x – x1)(x – x2).
Mencari Cusp dari Fungsi Kuadrat
Puncak fungsi kuadrat adalah titik tertinggi atau terendah dari parabola yang dihasilkan oleh fungsi kuadrat. Titik puncak ini bisa menjadi titik minimum atau maksimum dari fungsi kuadrat, bergantung pada tanda dari koefisien a. Jika a positif, maka puncak berada pada titik terendah (minimum), sedangkan jika a negatif, maka puncak berada pada titik tertinggi (maksimum).
Baca Juga:
Untuk mencari titik sudut fungsi kuadrat, kita dapat menggunakan rumus x = -b/2a dan y = f(x), dengan a, b, dan c adalah koefisien fungsi kuadrat y = ax^2 + bx + C. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
- Temukan koefisien a, b, dan c dari fungsi kuadrat.
- Hitung nilai x menggunakan rumus x = -b/2a.
- Hitung nilai y dengan mensubstitusikan nilai x ke dalam fungsi kuadrat, yaitu y = f(x) = ax^2 + bx + c.
- Titik puncak dari fungsi kuadrat adalah (x, y).
Contoh:
Diketahui fungsi kuadrat f(x) = 2x^2 – 4x + 1. Tentukan koordinat titik puncak parabola dan nilai minimum fungsi tersebut!
Langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut:
- Koefisien a = 2, b = -4, dan c = 1.
- Hitung nilai x dengan rumus x = -b/2a = -(-4)/(2*2) = 1.
- Hitung nilai y dengan mensubstitusi nilai x ke dalam fungsi kuadrat, yaitu y = f(x) = 2x^2 – 4x + 1 = 2(1)^2 – 4(1) + 1 = -1.
- Titik puncak dari fungsi kuadrat adalah (1, -1), dan nilai minimum dari fungsi tersebut adalah -1.
Dengan mengetahui titik puncak fungsi kuadrat, kita dapat mengetahui posisi parabola terhadap sumbu x dan sumbu y, serta mengetahui nilai minimum atau maksimum dari fungsi kuadrat tersebut.
Baca Juga:
Menentukan Tanda Fungsi Kuadrat
Tanda fungsi kuadrat adalah tanda (positif atau negatif) dari f(x) = ax^2 + bx + c, dengan a, b, dan c adalah konstanta. Tanda ini menunjukkan apakah parabola yang dihasilkan oleh fungsi kuadrat berada di atas atau di bawah sumbu x.
Untuk menentukan tanda fungsi kuadrat, kita perlu melihat nilai koefisien a. Jika a > 0, maka parabola terbuka ke atas dan fungsi kuadratnya positif untuk semua nilai x. Jika a < 0, maka parabola terbuka ke bawah dan fungsi kuadrat negatif untuk semua nilai x.
Selain itu, kita juga dapat menentukan tanda fungsi kuadrat dengan melihat titik potongnya dengan sumbu x. Jika fungsi kuadrat memiliki dua akar real dengan nilai yang sama, maka titik perpotongan sumbu x adalah titik minimum dari fungsi kuadrat tersebut dan fungsi kuadrat tersebut bernilai positif di sekitar titik tersebut. Jika fungsi kuadrat memiliki dua akar real yang berbeda, maka titik potong dengan sumbu x adalah titik antara dua titik minimum atau maksimum dan fungsi kuadrat adalah negatif antara dua titik potong.
Contoh:
Diketahui fungsi kuadrat f(x) = x^2 – 2x – 3. Tentukan tanda fungsi kuadrat tersebut dan apakah parabola terbuka ke atas atau ke bawah.
Baca Juga:
Langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut:
- Koefisien a = 1, b = -2, dan c = -3.
- Karena a > 0, parabola terbuka ke atas dan fungsi kuadratnya positif untuk semua nilai x.
- Untuk menentukan titik potong x, kita perlu mencari akar persamaan kuadrat dengan rumus x = (-b ± √(b^2 – 4ac))/2a. Dalam hal ini, x1 = -1 dan x2 = 3. Jadi, titik potong dengan sumbu x adalah (-1, 0) dan (3, 0).
- Karena fungsi kuadrat memiliki dua akar real yang berbeda, titik potong dengan sumbu x adalah titik antara dua titik minimum atau maksimum dan fungsi kuadrat adalah negatif antara dua titik potong.
Dengan mengetahui tanda fungsi kuadrat, kita dapat mengetahui posisi parabola terhadap sumbu x dan mengetahui nilai fungsi kuadrat untuk setiap nilai x.
www.bospedia.com
Baca Juga:
Artikel Terkait
