Induksi Matematika: Pengertian, Rumus, & Contoh Soal

Dalam pembelajaran Matematika tentunya terkenal dengan berbagai rumus persamaan dan teori yang dirumuskan oleh para ahli. Untuk membuktikan kebenaran rumus tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara, salah satu cara yang paling populer adalah induksi matematika.

Pengertian Induksi Matematika

Induksi Matematika adalah salah satu dari 4 metode paling populer yang digunakan untuk membuktikan kebenaran teori Matematika. Empat cara yang sering digunakan dalam pembuktian adalah pembuktian langsung, kontradiksi, kontraposisi dan induksi.

Logika Matematika membahas pernyataan yang bisa benar atau salah, negasi atau yang setara dengan pernyataan dan juga metode untuk menarik kesimpulan. Induksi Matematika adalah suatu metode pembuktian secara deduktif agar suatu pernyataan dapat dibuktikan benar atau salahnya.

Dalam konsep induksi matematika, suatu variabel dari suatu rumusan dibuktikan sebagai anggota himpunan bilangan asli.

Langkah-langkah Melakukan Induksi Matematika

Untuk melakukan induksi matematika, ada tiga langkah yang harus dilakukan sebagai berikut:

1. Langkah pertama adalah membuktikan bahwa pernyataan atau rumus benar untuk variabel n=1
2. Langkah kedua adalah menganggap pernyataan atau rumus benar untuk n = h
3. Langkah ketiga adalah membuktikan bahwa pernyataan atau rumus benar pada n = h + 1

Pembuktian dengan Induksi Matematika

Pembuktian dengan menggunakan konsep induksi matematika dapat dilakukan untuk deret bilangan dan hasil pembagian bilangan bulat.

Induksi Matematika pada Deret Bilangan

Buktikan bahwa rumus deret bilangan aritmetika 1 + 2 + 3 + … + n sama dengan ½ n (n + 1).

A. Pertama-tama, buktikan apakah n = 1 benar. Dalam deret ini, n yang dimaksud adalah bilangan suku pertama deret aritmetika.

Karena n = 1, maka jumlah suku pertamanya adalah 1. Berikut pembuktiannya:

S n = ½ n (n + 1)
1 = ½ (1) (1 + 1)
1 = ½ x 1 x 2
1 = 1

B. Langkah kedua adalah menganggap pernyataan itu benar untuk nilai n = h. Jadi susunan suku pertamanya adalah 1 + 2 + 3 + … + n. Jadi terapkan:

1 + 2 + 3 + … + h = ½ (h) (h + 1)

Pernyataan di atas dianggap benar, kemudian dibuktikan pada langkah ketiga.

C. Buktikan bahwa pernyataan n = h + 1 juga benar.

Pembuktian pada langkah ketiga menggunakan pembuktian pada langkah kedua sebelumnya.

1 + 2 + 3 + … + h + (h + 1) = ½ (h + 1) (h + 1 + 1)
1 + 2 + 3 + … + h + (h + 1) = ½ (h + 1) (h + 2)

Kemudian masukkan persamaan yang diperoleh pada langkah kedua sebelumnya:

1 + 2 + 3 + … + h + (h + 1) = ½ (h + 1) (h + 2)
½ (h) (h + 1) + (h + 1) = ½ (h + 1) (h + 2)
½ {(h) (h + 1) + 2 (h + 1)} = ½ (h + 1) (h + 2)
h² + h + 2h + 2 = h² + 2h + h + 2
h² + 3h + 2 = h² + 3h + 2 (terbukti benar)

Jadi terbukti bahwa persamaan ½ n (n + 1) benar untuk deret aritmetika di atas.

Perbedaan Penalaran Induktif dan Deduktif

Jika berbicara tentang metode penalaran, ada dua kata yang paling sering terdengar, yaitu induksi dan deduksi. Dalam metode induksi matematika, metode yang digunakan adalah penalaran deduktif, bukan induktif. Jadi apa perbedaan antara metode induktif dan deduktif?

1. Penalaran Induktif

Penalaran induktif adalah penalaran yang tidak pasti, yaitu kesimpulan yang ditarik adalah kesimpulan yang “mungkin benar”. Penalaran induktif akan menarik kesimpulan umum dari kasus penelitian yang bersifat khusus.

Penalaran induktif, meskipun memberikan kesimpulan “mungkin benar”, banyak digunakan dalam penelitian ilmiah karena lebih mudah. Contoh penelitian induktif adalah penelitian tentang pengaruh merokok terhadap kesehatan manusia.

Penelitian ini hanya akan mengambil sampel segelintir orang saja. Namun, meskipun sampel diambil secara acak dan tidak semua perokok dilibatkan sebagai objek penelitian, namun kesimpulan yang didapat dari hasil tersebut bisa saja benar.

Kesimpulan yang memiliki kemungkinan besar benar karena penelitian ini telah dilakukan beberapa kali dalam berbagai konteks namun menghasilkan hasil yang sama.

2. Penalaran Deduktif

Penalaran deduktif bersifat pasti dan tidak menggeneralisasi seperti penalaran induktif. Contoh penalaran deduktif ada pada premis logis berikut:

Premis 1: Semua makhluk hidup pasti mati
Premis 2: Harimau adalah makhluk hidup
Kesimpulan: Harimau itu akan mati

Premis 1 dan 2 benar, jadi kesimpulannya pasti benar. Sedangkan jika salah satu premisnya salah maka kesimpulannya juga salah meskipun metodenya valid.

Penalaran Deduktif dalam Matematika

Dalam induksi matematika, penalaran deduktif digunakan. Penalaran deduktif juga penting untuk teori Matematika karena berbagai operasi perhitungan Matematika menggunakan penalaran deduktif. Berikut adalah contoh penalaran deduktif:

Premis 1: a = 3b + 2
Premis 2: b = 5
Kesimpulan: a = 3 (5) + 2 = 17

Pada premis 1, jika diasumsikan nilai benar dan premis kedua juga benar, maka kesimpulan yang dihasilkan yaitu nilai a = 17 juga merupakan kesimpulan yang valid.

Contoh Soal Pembuktian dengan Induksi Matematika

Buktikan apakah jumlah g yang merupakan bilangan bulat ganjil positif pertama sama dengan g².

Induksi Matematika digunakan untuk membuktikan pernyataan semua bilangan asli. Induksi Matematika sendiri merupakan perluasan dari konsep logika Matematika.