Table of contents:
Salah satu materi penting dalam Matematika yang bermanfaat dalam berbagai aspek kehidupan adalah persamaan garis. Ada banyak sekali bentuk garis yang dijumpai sehari-hari, mulai dari garis lurus, garis lengkung, garis lengkung dan lain sebagainya. Masing-masing garis ini memiliki persamaannya sendiri.
Definisi Persamaan Garis
Persamaan garis dapat dikatakan sebagai rumus atau pemetaan pola bentuk garis yang terbentuk pada bidang koordinat kartesius. Setiap bentuk garis memiliki persamaan yang berbeda. Persamaan garis lurus adalah persamaan matematika yang memplot bentuk grafik garis lurus.
Persamaan garis ditandai dengan notasi sama dengan “=”.
Baca Juga:
Persamaan Garis dalam Kehidupan Sehari-hari
Ada banyak aplikasi persamaan garis dalam kehidupan sehari-hari seperti untuk menentukan kemiringan suatu bangunan. Selain itu persamaan garis juga berguna dalam menentukan jarak dan juga waktu dari kecepatan kendaraan.
Persamaan garis lurus juga berguna untuk meramalkan jumlah penduduk dan harga komoditas pada tahun-tahun tertentu yang mengalami kenaikan secara linier.
Persamaan Garis Lurus
Garis lurus adalah kumpulan titik-titik tak terhingga yang berdekatan satu sama lain. Persamaan garis lurus memiliki fungsi berbentuk:
Baca Juga:
y = mx + c, m adalah kemiringan garis sedangkan c adalah konstanta.
Persamaan garis lurus juga dapat dituliskan sebagai ax + by + c, dengan notasi a dan b adalah koefisien dan c adalah konstanta.
Terlihat pada gambar grafik di atas bahwa kurva memotong sumbu X dan Y pada koordinat Cartesian. Persamaan grafik garis lurus di atas adalah y = 5x + 2. Titik potong grafik garis lurus berada di x = 0 dan y = 0.
Baca Juga:
Perlu diketahui bahwa:
A. Ketika x = 0, persamaan garis lurus akan memotong sumbu Y. Sehingga sering disebut sebagai perpotongan garis dengan sumbu Y
B. Ketika y = 0, persamaan garis lurus akan berpotongan pada sumbu X. Sehingga sering disebut sebagai perpotongan garis dengan sumbu X
Baca Juga:
Untuk menghitung titik potong dengan mensubstitusikan nilai x = 0 dan y = 0.
- x = 0
y = 5x + 2
y = 5 (0) + 2
y = 2, jadi titik potong sumbu Y adalah (0, 2)
- y = 0
y = 5x + 2
0 = 5x + 2
-2 = 5x
x = -2/5, jadi titik potong sumbu X adalah (-2/5, 0)
Persamaan Tangen
Selain persamaan garis lurus, dalam Matematika dikenal juga dengan garis singgung. Garis singgung adalah garis lurus yang menyentuh atau menyentuh objek geometris seperti lingkaran dan kurva pada titik tertentu.
Secara umum persamaan garis singgung dengan gradien m melalui titik B (x1, y1):
Baca Juga:
y – y1 = m (x – x1)
Notasi m adalah gradien atau kemiringan garis singgung yang harus dicari terlebih dahulu.
Persamaan Tangen Kurva
Secara umum, kurva kuadrat memiliki persamaan garis yang berbentuk ax² + bx + c = 0. Untuk menghitung persamaan garis singgung, gunakan rumus:
Baca Juga:
y – y1 = m (x – x1), dimana m adalah gradien garis atau kemiringan garis singgung. Titik x1,y1 adalah titik yang bersinggungan dengan garis singgung.
Persamaan Tangen Lingkaran
Letak garis pada lingkaran terbagi menjadi tiga yaitu garis yang memotong lingkaran pada dua titik yang berbeda, garis yang tidak memotong lingkaran dan garis yang memotong lingkaran hanya pada satu titik atau disebut juga dengan garis singgung lingkaran.
Persamaan garis singgung lingkaran dibedakan berdasarkan posisi lingkaran.
Baca Juga:
- Persamaan Tangen Lingkaran x² + y² = r² di Titik P (x1, y1)
Pada Gambar 3 di atas tampak bahwa garis singgung (g) menyentuh lingkaran x² + y² = r² di titik P (x1, y1) dengan garis OP tegak lurus garis singgung tersebut. Dalam kondisi ini, gradien garis OP berlaku untuk garis singgung:
Jadi persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = r² di titik x1, y1 adalah:
x1.x + y1.y = r²
Baca Juga:
- Persamaan Garis Tangen Lingkaran (x – a)² + (y – b)² = r²
Lingkaran pada Gambar 4 tidak berpusat pada titik (0, 0) seperti pada Gambar 3 sehingga memiliki persamaan tangen yang berbeda. Gradien garis PQ pada Gambar 4 adalah:
Sedangkan persamaan gradien garis singgung (g) yang tegak lurus garis PQ adalah sebagai berikut:
Sehingga diperoleh persamaan garis (g) yang melalui lingkaran (x – a)² + (y – b)² = r² di titik Q (x1, y 1) :
Baca Juga:
(x – a) (x1 – a) + (y – b) (y1 – b) = r²
Contoh Soal Persamaan Garis
Tentukan di titik mana koordinat perpotongan garis-garis yang memiliki persamaan 3y – 2x = 18 terhadap sumbu koordinat.
Diskusi
Baca Juga:
Menjawab:
A. Untuk menghitung di titik mana garis memotong sumbu X, diperoleh nilai y = 0:
3y – 2x = 18
3 (0) – 2x = 18
-2x = 18
x = 18 : -2
x = -9
Baca Juga:
Jadi koordinat titik potong pada sumbu X adalah (-9, 0)
B. Untuk menghitung di titik mana garis memotong sumbu Y, nilai x = 0, sehingga diperoleh:
3y – 2x = 18
3thn – 2 (0) = 18
3 tahun = 18
y = 18 : 3
y = 6
Baca Juga:
Jadi koordinat titik potong pada sumbu X adalah (0 , 6)
Buktikan bahwa titik (6, -8) pada lingkaran x² + y² = 100 dan tentukan garis singgung lingkaran tersebut.
Diskusi
Baca Juga:
Menjawab:
Untuk membuktikan bahwa titik (6, -8) berada pada lingkaran x² + y² = 100 dengan mensubstitusi nilai x = 6, dan y = -8 ke dalam persamaan lingkaran:
x² + y² = 100
6² + (-8)² = 100
36 + 64 = 100 (Terbukti benar)
Baca Juga:
Jadi terbukti (6, -8) dalam lingkaran x² + y² = 100.
Untuk mencari persamaan garis singgung di titik (6, -8) pada lingkaran x² + y² = 100, gunakan rumus persamaan garis singgung berikut:
x1.x + y1.y = r²
6x -8y = 100 (kedua ruas dibagi 2)
3x – 4y = 50
Baca Juga:
Kesimpulan
Persamaan garis adalah pemetaan bentuk garis yang terbentuk pada bidang koordinat kartesius. Setiap bentuk garis memiliki persamaan yang berbeda. Untuk menghitung persamaan suatu garis, baik garis lurus maupun garis singgung, diperlukan informasi tentang gradien garis tersebut.
mejakelas.com
Baca Juga:
