Hayo, siapa di antara para Sobat yang suka bercermin? Cermin adalah alat yang dapat membantu Anda melihat wajah dan bentuk tubuh lainnya. Itu karena bayangan yang dihasilkan cermin akan sama persis dengan bendanya. Namun, posisinya berlawanan. Misalnya, tangan kanan Anda akan menjadi tangan kiri bayangan Anda di cermin. Dalam Matematika, proses refleksi semacam ini biasa disebut dengan refleksi. Lalu, apa itu refleksi? Daripada penasaran, yuk simak selengkapnya!

Pengertian Refleksi Matematika

Refleksi matematis adalah perpindahan setiap titik atau benda ke titik atau benda lain, seperti halnya pembentukan bayangan pada cermin datar. Jarak titik asal ke cermin sama dengan jarak titik bayangan ke cermin. Pemantulan tidak mengubah bentuk dan ukuran benda. Hanya saja, posisi titik awal hingga titik bayangan akan saling berseberangan. Jika titik awalnya di bawah, maka bayangan titiknya di atas. Jika titik awal berada di sebelah kiri, bayangan titik berada di sebelah kanan. Ya prinsipnya sama dengan posisi bayangan di cermin, Bagaimanapun. Apakah Sobat penasaran? Silakan bercermin, lalu perhatikan posisi bayangan ke arah Anda.

Refleksi yang biasa dinyatakan sebagai M. Misalnya, titik P (X, y) mengalami pemantulan menghasilkan bayangan P'(x’, y’). Secara matematis, dapat dinyatakan sebagai:

Sifat Refleksi Matematika

Suatu transformasi atau perpindahan dikatakan pencerminan jika memenuhi sifat-sifat tertentu, yaitu sebagai berikut.

1. Jarak titik awal ke cermin akan sama dengan jarak bayangan ke cermin.
2. Garis penghubung dari titik asal ke titik bayangan akan tegak lurus terhadap cermin.
3. Semua garis penghubung antara titik asal dan titik bayangan akan sejajar satu sama lain. Artinya, itu tidak akan pernah berpotongan di titik mana pun.
4. Pusat refleksi dianalogikan dengan cermin.

Jenis Refleksi Matematika

Berdasarkan pusat pemantulan atau sumbu cermin, pemantulan dibagi menjadi tujuh, yaitu pemantulan sumbu x, pemantulan sumbu y, pemantulan titik pusat (0, 0), pemantulan garis y = Xrefleksi pada garis y = –Xrefleksi pada garis X = Hdan refleksi pada baris y = k. Bagaimana pembahasan ketujuh renungan tersebut?

Refleksi Terhadap Sumbu x

Pada jenis pemantulan ini, sumbu x berperan sebagai cermin atau pusat pemantulan. Jika titik P(x, y) dicerminkan pada sumbu x, akan terbentuk bayangan P'(x’, y’). Secara matematis dapat dinyatakan sebagai:

Dengan:

x’ = x

y’ = -y

sehingga:

Anda dapat menentukan koordinat titik bayangan dengan konversi matriks berikut.

Misalnya, titik P (2, 3) dicerminkan terhadap sumbu x. Tentukan gambar gambar ke titik awal.

Diskusi:

Jika titik P direfleksikan pada sumbu x, bayangan P'(2, -3) akan dihasilkan. Bayangan pantulan kedua titik pada koordinat kartesius adalah :

Gambar di atas menunjukkan bahwa jarak titik P ke sumbu x sama dengan jarak titik P’ ke sumbu x.

Refleksi Terhadap Sumbu Y

Dalam jenis pemantulan ini, sumbu y bertindak sebagai cermin. Jarak titik awal ke sumbu y akan sama dengan jarak titik bayangan ke sumbu y. Misalnya titik P (x, y) dicerminkan pada sumbu y, maka akan dihasilkan titik P’. Koordinat P’ dapat dinyatakan sebagai:

Dengan:

x’ = -x

y’ = y

sehingga:

Untuk membuatnya lebih jelas, pertimbangkan sebuah contoh:

Titik P (2, 3) dicerminkan terhadap sumbu y. Tentukan gambar gambar ke titik awal.

Diskusi:

Jika titik P dicerminkan pada sumbu y, bayangan P'(-2, 3) akan terbentuk. Gambar refleksi dari dua titik pada koordinat Cartesian adalah:

Dari gambar di atas, apakah terbukti jarak titik P ke sumbu y sama dengan jarak titik P’ ke sumbu y?

Refleksi Terhadap Titik Tengah (0, 0)

Sama seperti dua refleksi sebelumnya, pada refleksi ini titik pusat (0, 0) berperan sebagai cermin. Artinya, jarak titik pusat ke titik awal akan sama dengan jarak titik bayangan ke titik pusat. Jika titik P(x,y) dicerminkan ke titik (0,0) akan menghasilkan bayangan P’ seperti persamaan di bawah ini.

Dengan:

x’ = -x

y’ = -y

sehingga:

Persamaan matriksnya adalah:

Contoh:

Titik P (2, 3) direfleksikan terhadap titik (0, 0). Tentukan gambar gambar ke titik awal.

Diskusi:

Bila dicerminkan ke titik (0, 0) akan menghasilkan bayangan titik P’ (-2, -3). Gambar pantulannya adalah sebagai berikut.

Refleksi Terhadap Garis y = X

Pada refleksi ini, baris y = X bertindak sebagai pusat rotasi atau cermin. Artinya, jarak antara titik ke garis y = X jarak yang sama dari gambar ke garis y = X. Misalnya titik P dengan koordinat (x,y) dicerminkan pada garis y = x. Pemantulan tersebut akan menghasilkan bayangan P’ seperti persamaan di bawah ini.

Dengan:

x’ = y

y’ = x

sehingga:

Persamaan matriksnya adalah:

Contoh:

Titik P (2, 3) dicerminkan terhadap garis y = x. Tentukan gambar gambar ke titik awal.

Diskusi:

Jika dicerminkan pada garis y = x, bayangan titik P’ (3, 2) akan dihasilkan. Gambar pantulannya adalah sebagai berikut.

Refleksi Terhadap Garis y = –X

Pada refleksi ini, baris y = –X bertindak sebagai cermin atau pusat refleksi. Bentuk bayangan garis y = -x hampir sama dengan garis y = x. Hanya saja posisi garisnya berseberangan.

Dengan:

x’ = -y

y’ = -x

sehingga:

Persamaan matriksnya adalah:

Untuk titik P (2, 3) yang dicerminkan pada garis y = -x akan diperoleh hasil sebagai berikut.

Diskusi:

Jika dicerminkan pada garis y = -x, bayangan titik P’ (-3, -2) akan dihasilkan. Gambar pantulannya adalah sebagai berikut.

Refleksi Terhadap Garis x = h

Garis X = H adalah garis sejajar sumbu y. Jika titik P dicerminkan dari garis X = Hartinya titik P dicerminkan oleh garis X = H yang sejajar dengan sumbu y. Secara matematis dapat dinyatakan sebagai berikut.

Dengan:

x’ = 2H – X

y’ = y

sehingga:

Persamaan matriksnya adalah:

Lalu, bagaimana penerapannya pada masalah tersebut?

Titik P (2, 3) dicerminkan dari garis x = 3. Tentukan bayangan bayangan dari titik awal.

Diskusi:

Jika dicerminkan pada garis x = 3, bayangan titik P’ akan dihasilkan sebagai berikut.

Jika Anda memplot titik itu pada koordinat Cartesian, Anda mendapatkan:

Dari gambar di atas, terlihat garis X = 3 sejajar sumbu y.

Refleksi Terhadap Garis y = k

Garis y = k adalah garis yang sejajar dengan sumbu x. Proses pembentukan bayangan juga sama dengan pembentukan bayangan pada sumbu x. Jika titik P dicerminkan dari garis X = kartinya titik P dicerminkan oleh garis X = k yang sejajar dengan sumbu x. Secara matematis dapat dinyatakan sebagai berikut.

Dengan:

x’ = X

y’ = 2k – y

sehingga:

Persamaan matriksnya adalah:

Titik P (2, 3) dicerminkan terhadap garis . Tentukan gambar gambar ke titik awal.

Diskusi:

Jika dicerminkan pada garis y = 1, bayangan titik P’ akan dihasilkan sebagai berikut.

Selanjutnya, plot titik-titik pada koordinat Cartesian.

Sampai di sini, apakah Sobat sudah paham? Yuk, kita lanjut ke contohnya!

Contoh soal

Agar pemahaman Anda lebih lengkap, perhatikan contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1

Titik (-4, 1) dicerminkan pada garis X = H, hingga gambar ditransmisikan (-20, 1). Tetapkan nilai H!

Diskusi:

Dikenal:

(X, y) = (-4, 1)

(X‘, y‘) = (-20, 1)

diminta: H =…?

Menjawab:

Tanda H dapat ditentukan dengan persamaan berikut.

Jadi, nilai H = -12.

Contoh Soal 2

Sebuah titik yang memiliki koordinat (-3, -1) dicerminkan pada garis tersebut y = -2. Tentukan koordinat bayangan titik tersebut!

Diskusi:

Bila dicerminkan pada garis y = -2, akan dihasilkan koordinat bayangan titik sebagai berikut.

Jadi, koordinat akhir dari titik tersebut adalah (-3, -3).

Contoh Soal 3

Persamaan berikut diketahui.

Jika garis dicerminkan terhadap sumbu x, tentukan persamaan garis bayangannya!

Diskusi:

Pertama, tentukan koordinat x’ dan y’ sebagai koordinat bayangan. Pada refleksi terhadap sumbu x, berlaku:

Karena itu:

X = x’

y = -y’

Substitusikan nilai x = x’ dan y = -y’ ke dalam persamaan garis awal.

Jadi, persamaan garis bayangannya adalah y = -2X + 5.

Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bermanfaat. Untuk mendapatkan materi lengkapnya, buruan gabung dengan Quipper Video. Salam Quippers!