Deret Aritmatika – Pengertian, Sejarah, Cara Menghitung, Contoh
Kemajuan aritmatika merupakan salah satu mata pelajaran matematika yang diajarkan di sekolah dasar hingga menengah. Matematika juga selalu menjadi mata pelajaran paling menakutkan bagi siswa sekolah karena berbagai alasan. Salah satunya karena sulit dipahami.
Pelajaran matematika memerlukan kemampuan penalaran dan perhitungan yang baik dari penggunanya. Namun dalam kehidupan sehari-hari kita juga tidak bisa lepas dari matematika. Misalnya saja saat berbelanja kebutuhan sehari-hari.
Tentunya harus menggunakan penjumlahan dan pengurangan termasuk mengubahnya menjadi mata uang. Hal ini tidak lepas dari matematika. Deret bilangan hanyalah salah satu contoh dari sekian banyak hal yang harus dipelajari dalam matematika.
Memahami Kemajuan aritmatika
Sebelum lebih jauh ke pembahasan dan rumus tentang deret aritmatika, ada baiknya kita memahami terlebih dahulu pengertian penting deret dalam aritmatika. Contoh juga akan disertakan untuk lebih memahaminya.
Baca Juga:
Deret dalam aritmatika adalah barisan bilangan yang terbentuk karena selisih suku-suku bilangan berurutan dan tetap. Sedangkan makna deret dapat digambarkan dari jumlah seluruh istilah yang ada.
Terdapat perbedaan yang signifikan namun terkait antara barisan deret dan barisan aritmatika. Keduanya mempunyai istilah yang berbeda. Namun sangat erat hubungannya, terutama jika digunakan dalam penyelesaian masalah. Itu sebabnya Anda perlu tahu lebih banyak tentang ini.
Contoh Deret Aritmatika dan Penjumlahan
Penjelasan ini kemungkinan besar akan sulit dipahami oleh sebagian besar orang karena belum menjelaskan secara detail contoh barisan aritmatika. Selanjutnya kita akan membahas beberapa contoh yang dapat membuat Anda lebih memahami tentang hal ini.
Perhatikan rangkaian angka berikut 1,3,5,7,9,11,13,15,… dst. Rangkaian angka ini mempunyai pola yaitu angka didepan ditambah dengan angka 2. Angka 1 dalam deret tersebut dapat disebut suku ke-1. Angka 3 dapat disebut suku ke-2.
Baca Juga:
Begitu pula dengan angka-angka berikut ini. Anda bahkan bisa menghitung suku ke-100 dengan menggunakan rumus atau rumus yang lebih cepat tanpa harus bingung menghitung suku pertama satu per satu hingga mendapatkan hasil suku ke-100. Ini disebut barisan aritmatika.
Sedangkan perkembangan aritmatika adalah jumlah dari barisan ini. Misalnya gunakan rangkaian di atas lalu dijumlahkan. S8 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64. Banyaknya 8 rangkaian bilangan tersebut adalah 64. Rangkaian ini juga dapat dihitung dengan menggunakan rumus.
Kalian juga bisa memperhatikan deret aritmatika berikut ini 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187,… dst. Jika diperhatikan, barisan tersebut adalah bilangan di depan dikalikan dengan bilangan 3. Barisan aritmatika adalah bukan sekedar penjumlahan dan pengurangan.
Namun mencakup pula perkalian, bahkan gabungan seluruh faktor pembagi, pengali, penjumlahan, dan pengurangan dalam matematika. Asalkan semua angkanya berulang sesuai rumus yang ditentukan. Ini disebut barisan aritmatika.
Baca Juga:
Sejarah Kemunculan Kemajuan aritmatika
Belum ada sumber yang dapat menjelaskan secara pasti oleh siapa rangkaian angka ini ditemukan. Namun ada beberapa penjelasan tentang seorang ahli matematika dan ilmuwan asal Jerman yang menemukan teori ini.
Carl Friedrich Gauss-lah yang diyakini telah mengembangkan teori ini sejak ia masih duduk di bangku sekolah dasar. Ia menemukan metode penghitungan penjumlahan bilangan bulat dari 1 hingga 100. Caranya adalah dengan mengalikan n/2 pasang.
Jika dijumlahkan, nilai masing-masing pasangan adalah n+1. Ada pula beberapa teori lain yang menyatakan bahwa penemu bilangan matematika tersebut adalah seorang ilmuwan yang bahkan sudah ada sejak sebelum masehi.
Misalnya Pythagoras dan Archimedes dari Yunani yang terkenal dengan segitiga Pythagoras dan hukum fisika Archimedes. Selain itu ada juga Zhang Qiujian dari Tiongkok dan Aryabratha, Brahmagupta yang berasal dari India. Oleh karena itu, teori tentang penemu rangkaian ini masih belum diketahui secara pasti.
Baca Juga:
Cara Menghitung Menggunakan Rumus
Rumus deret pada aritmatika dapat dilihat pada rumus berikut:
Sn = n/2 (a+Un) atau
Sn = n/2 (2a + (n-1)b)
Informasi :
Baca Juga:
Sn = jumlah n suku pertama
n = jumlah suku dalam barisan aritmatika
a = suku pertama barisan aritmatika
b = beda
Baca Juga:
Kalau begitu, dalam rumus ini perkembangan aritmatika dapat disimbolkan sebagai Sn. Hal pertama yang dilakukan adalah membagi banyaknya suku yang diinginkan dengan angka 2 (n/2). Selanjutnya lakukan perhitungan dalam tanda kurung.
Kurangi dulu jumlah suku pada barisan aritmatika (n-1). Langkah selanjutnya adalah mengalikan hasilnya dengan selisih (b). Perlu diingat dalam aturan penjumlahan, pengurangan, dan pembagian bahwa yang ada di dalam tanda kurung didahulukan.
Selanjutnya lakukan rumus perkalian dan pembagian untuk mendapatkan hasil yang tepat. Ingat aturan ini lagi. Ada juga beberapa rumus lain yang bisa Anda gunakan, namun ini adalah rumus yang paling mudah.
Rumus ini akan membantu Anda mencari suku ke-n (suku apa pun) pada deret aritmatika yang ada. Anda dapat melihat contoh pertanyaan berikut.
Baca Juga:
Contoh Soal 1
Jika anda mengetahui suatu barisan aritmatika 27, 24, 21, 18, … dst. Hitunglah jumlah 20 suku pertama. Jadi jawabannya adalah sebagai berikut:
Diketahui: a = 27
b = U2-U1, dimana 24-27 = -3
Menjawab :
Baca Juga:
Sn = n/2 (2a + (n-1)b)
S20 = 20/2(2 x 27) + (20 – 1) x (-3)
S20 = 10 x (54 + 19 x (-3))
S20 = 10 x (54 + 57)
Baca Juga:
S20 = 10x(-3)
S20 = -30
Jadi, kesimpulannya, ketika 20 kuarter pertama dari perkembangan aritmatika Jika dijumlahkan, totalnya adalah -30.
Contoh Soal 2
Diketahui suku ke-8 suatu deret aritmatika adalah 20. Jumlah suku ke-2 dan ke-16 adalah 30. Maka suku ke-12 deret aritmatika tersebut adalah…
Baca Juga:
Dikenal :
U8 = 20
U2 + U16 = 30
Menjawab:
Baca Juga:
Pertama, Anda bisa membuat persamaannya terlebih dahulu
U8 = 20
U8 = a + 7b
Untuk,
Baca Juga:
U2 + U16 = 30
(a+b) + (a + 15b) = 30
2a + 16b = 30
Selanjutnya bisa dihilangkan:
Baca Juga:
a + 7b = 20 dikalikan 2
2a + 16b = 30
Untuk
2a + 14b = 40
Baca Juga:
2a + 16b = 30
Jadi, 2b = -10
b = -5
Selanjutnya substitusikan salah satu persamaan di atas untuk mendapatkan nilai a
Baca Juga:
a + 7b = 20
a + 7(-5) = 20
sebuah – 35 = 20
sebuah = 55
Baca Juga:
Jadi, suku ke-12 dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut:
U12 = 55 + (12-1)(-5)
U12 = 55 + 11(-5)
U12 = 55 – 55
Baca Juga:
U12 = 0
Kesimpulannya suku ke-12 adalah 0 (nol).
Pengertian dan Rumus Barisan Aritmatika
Sebenarnya perbedaan deret dan deret aritmatika adalah jika perkembangan aritmatika adalah penjumlahan suku, sedangkan deret aritmatika adalah mencari suku ke-… termasuk mencari suku-suku yang tidak ditampilkan pada deret tersebut.
Rumus barisan aritmatika ini adalah:
Baca Juga:
Un = a + (n-1)b
b = Satu – Satu-1
Informasi:
Un = suku ke-n
Baca Juga:
U1 = adalah suku pertama barisan aritmatika
b = beda
n = suku ke-th
Contoh soal
Jika suatu baris diketahui perkembangan aritmatika yaitu U1, U2, U3,…, 54, 58. Dari barisan tersebut diketahui suku tengahnya adalah 30 dan jumlah deret aritmatika tersebut adalah 45. Hitunglah banyaknya suku yang terdapat pada deret aritmatika di atas.
Baca Juga:
Soal ini sebenarnya merupakan gabungan deret dan deret aritmatika. Keduanya tidak dapat dipisahkan untuk dapat menemukan jawaban atas pertanyaan yang diberikan. Namun, dalam pertanyaan ini tersedia informasi yang cukup untuk dapat menjawab pertanyaan tersebut.
Pertama-tama, temukan perbedaan antara pertanyaan-pertanyaan yang diberikan di atas. Caranya adalah sebagai berikut:
b = Satu – Satu-1
b = 58 – 54
Baca Juga:
b = 4
selisihnya adalah 4. Selanjutnya setelah mencari selisihnya, Anda dapat melanjutkan dengan mencari suku pertama barisan aritmatika tersebut. Caranya dapat diketahui dari informasi jangka menengah. Istilah pertama ini penting nantinya untuk memahami keseluruhan rangkaian.
Ut = (a + Un) / 2
30 = (a + 58) / 2
Baca Juga:
30 = a/2 + 29
30 – 29 = a/2
1 = a/2
sebuah = 2
Baca Juga:
Diketahui suku pertama adalah 2. Selanjutnya langkah terakhir adalah memasukkan semua variabel tersebut ke dalam rumus deret aritmatika untuk menentukan suku pada deret aritmatika yang diberikan. Caranya adalah sebagai berikut:
Sn = 1/2n (2a + (n-1)b)
450 = 1/2n ((2 x 2) + (n-1) 4)
450 = 1/2n (4+ 4n-4)
Baca Juga:
450 = 2n2
450/2 = n2
225 = n2
15 = n
Baca Juga:
Jadi, banyaknya suku pada barisan aritmatika tersebut adalah 15 suku. Dapat dilihat dari perhitungan berikut ini:
S450 = 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38, 42, 46, 50, 54, 58
Penggunaan Barisan dan Barisan Aritmatika
Jangan berpikir bahwa belajar deret dan deret aritmatika tidak akan berguna di kemudian hari. Beberapa kegunaan yang erat kaitannya dengan berbagai bidang sehari-hari adalah:
1. Bidang Statistika
Anda yang bekerja di bidang statistika pasti sudah tidak asing lagi dengan angka dan juga rangkaian angka yang berfungsi untuk proyeksi dan analisa terhadap hal yang sedang diteliti. Karena itulah seri ini sangat membantu pekerjaan beberapa orang yang ahli di bidangnya.
Baca Juga:
2. Sektor Ekonomi
Selain itu penggunaan deret dan deret aritmatika juga sering digunakan oleh para perencana keuangan. Misalnya, seorang analis saham akan memperkirakan apakah saham yang dibelinya akan menguntungkan kliennya. Jadi Anda bisa menggunakan proyeksi ini.
Mengetahui tentang barisan dan deret aritmatika akan mempengaruhi kemampuan Anda dalam menjawab soal. Baik itu dalam ujian akhir, ujian sekolah, dan lain-lain. Dengan mempelajari rumus-rumus yang diberikan maka Anda akan mampu menguasai pembelajaran dengan baik.
Selain itu, perkembangan aritmatika Hal ini juga sering membantu dalam kehidupan sehari-hari, misalnya jika Anda seorang manajer investasi atau bekerja di bidang statistik dan keuangan. Sehingga hal ini akan sangat membantu dalam melakukan berbagai analisa.
Baca Juga Artikel Lainnya:
Baca Juga:
www.ayovaksindinkeskdi.id
Artikel Terkait
