Hai Sobat, sejak SD pasti sudah dikenalkan dengan istilah pecahan kan? Biasanya, Anda diminta menentukan hasil operasi pecahan atau menyelesaikan soal sehari-hari dengan sistem pecahan. Tahukah Anda bahwa pecahan adalah bilangan rasional? kamu tahu. Lalu, apa yang dimaksud dengan bilangan rasional? Daripada penasaran, yuk simak selengkapnya!
Definisi Bilangan Rasional
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dibentuk menjadi pecahan ab dengan b ≠ 0, sebuah dan b termasuk bilangan bulat. Artinya, semua bilangan bulat, baik positif maupun negatif, adalah bilangan rasional. Mengapa demikian? Karena semua bilangan bulat bisa diubah menjadi pecahan dengan penyebut 1, misalnya 3 bisa diubah menjadi 31, 7 bisa diubah menjadi 71, dan seterusnya.
Notasi Bilangan Rasional
Bilangan rasional biasanya disimbolkan sebagai Q. Notasi atau penulisan bilangan rasional adalah sebagai berikut.
Baca Juga:
Q = ab|a,b ∈Z, b≠0
Notasi di atas dapat diartikan bahwa bilangan rasional ab , sebuah dan b termasuk elemen integer dengan b tidak bisa nol. Contoh bilangan rasional adalah 12,57,31, dan masih banyak lainnya. Lalu, bagaimana dengan bilangan desimal?
Bila bilangan desimal dapat diubah menjadi pecahan, tetap disebut bilangan rasional. Misalnya 0,4 bisa diubah menjadi 410 atau 25, 0,25 bisa diubah menjadi 25100 atau 14, dan seterusnya.
Baca Juga:
Bentuk Bilangan Rasional
Suatu bilangan dikatakan rasional atau tidak mengacu pada dapat atau tidaknya bilangan tersebut digunakan sebagai pecahan. Ada beberapa bentuk bilangan yang dapat digunakan sebagai pecahan, yaitu sebagai berikut.
Bilangan rasional berbentuk pecahan
Semua bentuk pecahan pasti dikategorikan sebagai bilangan rasional, baik pecahan murni maupun pecahan campuran. Bilangan rasional yang berbentuk pecahan dapat dibagi menjadi tiga, yaitu sebagai berikut.
- Pecahan murni yang penyebutnya lebih besar dari pembilangnya, contoh 23.
- Pecahan campuran yang pembilangnya lebih besar dari penyebutnya, contoh 32.
- Pecahan yang menghasilkan bilangan bulat, dimana penyebutnya dapat membagi pembilangnya secara merata, misalnya 42=2.
Bilangan rasional berbentuk desimal dengan nol berulang
Seperti pada pembahasan sebelumnya, bilangan desimal juga merupakan bilangan rasional jika dapat diubah ke dalam bentuk pecahan. Salah satu ciri yang menunjukkan bahwa bilangan desimal dapat digunakan sebagai pecahan adalah bilangan tersebut memiliki pengulangan nol di akhir bilangan, misalnya 0,2500000 = 0,25; 0,50000 = 0,5; 0,400000 = 0,4, dan seterusnya.
Baca Juga:
Bilangan rasional berbentuk desimal dengan pengulangan teratur dari angka bukan nol
Bilangan desimal dengan pengulangan deret bilangan biasa juga dapat digunakan sebagai pecahan, misalnya 0,3333; 0,111111; 0,44444; 3,636363; dll.
Sifat Bilangan Rasional
Sifat bilangan rasional berlaku untuk penjumlahan, perkalian, kombinasi perkalian dan penjumlahan/pengurangan. Ciri-ciri yang dimaksud adalah sebagai berikut.
Sifat Tertutup
Bilangan rasional tertutup, baik penjumlahan maupun perkalian. Properti ini dapat dinyatakan sebagai berikut.
Baca Juga:
Ditutup terhadap penjumlahan
Penjumlahan bilangan rasional ab dan cd dimana sebuah BCD ∈ Q, berlaku:
Contoh:
Tertutup terhadap perkalian
Dalam mengalikan bilangan rasional ab dan cd dimana sebuah BCD ∈ Q, berlaku:
Baca Juga:
Contoh:
Sifat Komutatif
Sifat komutatif ini juga berlaku untuk penjumlahan dan perkalian bilangan rasional.
Sifat komutatif dari penjumlahan
Penjumlahan bilangan rasional ab dan cd dimana sebuah BCD ∈ Q, berlaku:
Baca Juga:
Contoh:
Sifat komutatif perkalian
Dalam mengalikan bilangan rasional ab dan cd dimana sebuah BCD ∈ Q, berlaku persamaan berikut.
Contoh:
Baca Juga:
Sifat asosiatif
Sifat asosiatif juga berlaku untuk operasi gabungan antara penjumlahan dan perkalian bilangan rasional ab, cd, dan ef dimana sebuah BCD, e, f ∈ Q sebagai berikut.
Perhatikan contoh berikut.
Sifat Identitas
Nomor identitas adalah nomor yang hanya terdiri dari angka 1 atau 0-1. Bilangan rasional juga memiliki elemen identitas, dimana elemen tersebut juga harus menyertakan bilangan rasional. Operasi pada bilangan rasional dengan elemen identitasnya akan menghasilkan bilangan rasional itu sendiri. Sifat identitas penjumlahan dan perkalian adalah sebagai berikut.
Baca Juga:
Identitas tambahan
Penambahan unsur identitas dan bilangan rasional akan menghasilkan bilangan rasional itu sendiri. Di nomor ab dimana a, b ∈ Q, berlaku:
dengan disebut unsur identitas tambahan
Identitas perkalian
Mengalikan unsur identitas dengan bilangan rasional menghasilkan bilangan rasional itu sendiri. Di nomor ab mana a, b ∈ Q, berlaku:
Baca Juga:
dengan disebut elemen identitas perkalian
Bilangan Rasional Invers
Invers adalah bilangan rasional yang kebalikan dari bilangan rasional asli. Invers ini juga berlaku untuk penjumlahan dan perkalian. Namun, hasil akhir keduanya tidak sama.
- Selain itu, jika suatu bilangan rasional dijumlahkan dengan inversnya maka akan menghasilkan nilai 0. Untuk bilangan ab dimana a, b ∈ Q memiliki invers -ab, jadi ab+-ab=0.
- Dalam perkalian, jika suatu bilangan rasional dikalikan dengan inversnya akan menghasilkan nilai 1. Untuk bilangan ab dimana a, b ∈ Q, memiliki invers ba, jadi abba=1.
Perbedaan Bilangan Rasional dan Irasional
Jika ada bilangan rasional, maka pasti ada bilangan irasional. Kedua bilangan tersebut termasuk dalam anggota bilangan real atau bilangan real. Lalu, apa perbedaan bilangan rasional dan irasional? Perbedaan mendasar antara keduanya terletak pada dapat atau tidaknya diubah menjadi pecahan, baik pecahan murni maupun campuran. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat diubah menjadi bentuk pecahan ab a, b ∈ Q. Sedangkan bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat diubah menjadi pecahan ab. Ciri-ciri bilangan irasional adalah berupa desimal dengan barisan bilangan tidak beraturan dan akar yang tidak menghasilkan bilangan bulat, misalnya 1,256398; 0,28759; 3; dll.
Baca Juga:
Contoh Soal Bilangan Rasional
Untuk mengasah pemahaman Anda, mari kita lihat beberapa contoh berikut.
Contoh Soal 1
Tentukan bentuk rasional dari bilangan-bilangan berikut.
- 0,75
- 1.121212
- 3.636363
Diskusi:
Baca Juga:
- Bentuk rasional dari 0,75
- Bentuk rasional dari 1,12121212
Pada awalnya, Anda harus menganggap 1,12121212 sebagai x. Kemudian, lakukan operasi eliminasi sebagai berikut.
Jadi 1,121212 = 1119.
Pada awalnya, Anda harus menganggap 3.63636363 sebagai x. Kemudian, lakukan operasi eliminasi sebagai berikut.
Baca Juga:
Jadi, bentuk rasional dari 3,636363 = 4011.
Contoh Soal 2
Tentukan apakah bentuk bilangan berikut merupakan bilangan rasional atau bukan.
Diskusi:
Baca Juga:
Perhatikan angka-angka ini. Di belakang ada rangkaian angka 3 berulang. Lalu, bagaimana dengan angka 8? Angka 8 bisa dijadikan puluhan, dengan mengalikan angka tersebut dengan 100. Misalnya 0,8333 = xjadi:
Jadi, 0,8333 adalah bilangan rasional.
Jika diperhatikan, deret bilangan desimal tidak membentuk pola tertentu atau tidak beraturan. Jadi, 2,449489743 bukan bilangan rasional.
Baca Juga:
Contoh Soal 3
Tentukan apakah bilangan-bilangan berikut merupakan bilangan rasional atau bukan.
Jika merupakan bilangan rasional, tentukan bentuk rasional bilangan tersebut!
Diskusi:
Baca Juga:
0,875 adalah bilangan rasional karena bentuknya 0,875 = 0,875000. Di akhir desimal ada angka nol yang berulang. Bentuk rasional dari 0,875 adalah sebagai berikut.
Angka 1,333 termasuk bilangan rasional karena terdapat deret 3s yang berulang setelah titik desimal. Bentuk rasional dari bilangan-bilangan tersebut adalah sebagai berikut.
Jadi, bilangan 0,875 dan 1,333 adalah bilangan rasional.
Baca Juga:
Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bermanfaat, ya. Untuk mendapatkan materi lengkapnya, buruan gabung dengan Quipper Video. Salam Quippers!
www.quipper.com
Baca Juga:
